美英早期立體幾何教科書中的類比思想*

紀妍琳 汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，推斷與其類似的事物也具有相同或相似屬性的一種推理方法．[1]歷史上，阿基米德(Archimedes,前287—前212)通過類比得到關于球面積公式的猜想[2]；歐拉(L.Euler,1707—1783)通過將有限次代數方程的根與系數關系類比到無限次方程，從而解決了17世紀下半葉的著名數學難題——自然數倒數平方和[3]．類比在數學發現的過程中扮演著重要的角色，是一種具有創造性的數學思想．

以或然推理(歸納、類比)做出猜想，以必然推理(演繹)做出證明已逐漸成為數學教學中培養學生創新精神的重要方法．《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)指出，類比推理是邏輯推理的一種重要形式．從《標準》的邏輯推理素養水平劃分中提煉出類比推理能力的具體表現為：(1)能夠在熟悉的情境中用類比的方法，發現數量或圖形的性質、數量關系或圖形關系，能理解類比是發現和提出數學問題的重要途經；(2)能夠在熟悉的數學內容中識別類比推理；(3)知道通過類比推理得到的結論是或然成立的；(4)能夠通過熟悉的例子理解類比推理的基本形式．[4]

根據《標準》，在數學教學中應該給學生創設通過類比獲得數學發現的機會，揭示類比在數學發現中的創造性和類比推理結論的或然性，并基于實例幫助學生理解類比推理的基本形式．然而，高中數學中存在為“類比”而類比的形式化傾向，忽視類比推理的或然性，過于強調類比推理結論的唯一性，強調特定數學對象的類比等問題[5][6]．究其原因，一方面，教師所掌握的有關類比思想的教學素材十分有限；另一方面，隨著HPM的教學理念受到越來越多的關注，HPM視角下高三數學復習課的教學也逐漸進入人們的視野，而復習課的教學往往需要以數學思想方法為主線展開．為此，我們需要針對類比思想開展深入的歷史研究．

本文針對類比思想，對19世紀部分美英立體幾何教科書進行考察和分析，從中總結出類比思想在定義、命題以及命題證明中的應用，以期為高中數學教學，特別是HPM視角下的復習課教學提供有用的素材和思想啟迪．

2 定義中的類比

2.1 平面角與二面角

表1 平面角與二面角的相關概念[8]

二面角的概念與平面角的概念存在著相似性．有教科書指出，二面角的相關定義可以通過將平面角相關定義中的“直線”“射線”“頂點”分別替換為“平面”“半平面”“棱”得到．[7]例如，根據平面中的鄰角、直角、內錯角、同位角等角的有關概念，可以類比得到二面角的有關概念，具體內容見表1．

2.2 圓與球

圓是平面內到定點的距離等于定長的點的集合；球是空間中到定點的距離等于定長的點的集合．由于圓和球的相似性，有教科書設置練習，要求類比圓的有關概念，得到球的相應概念[9]．學生可以類比相切圓、圓的公切線和同心圓等概念，得到相切球、球的公切面和同心球等概念，見表2．

3 命題中的類比

3.1 平面角與二面角

一些教科書指出，二面角和平面角之間存在密切的聯系，二面角的性質可以通過類比平面角的性質得到，見表3．

表2 圓與球的相關概念

表3 平面角與二面角的相關命題

圖1 二面角的角平分面 圖2 命題B2的反例

一些教科書要求學生類比平面角的有關命題得出二面角的相應命題[10][11]；大部分教科書在說明二面角與平面角之間的相似性之后，直接給出二面角的有關命題作為結論，不予證明[12]或將證明作為練習[13]．

類比具有或然性．在不加證明的情況下，早期教科書中由類比得出的關于二面角的命題并非全都正確．例如，表3中的命題B2就是一個假命題．事實上，在圖2所示的情形中，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面φ，滿足命題B2的條件，若平面γ⊥平面φ，但平面α不垂直于平面β，則平面α與β所成二面角和平面γ與φ所成二面角既不相等也不互補．

3.2 卡瓦列里原理中的類比

17世紀意大利數學家卡瓦列里(B.Cavalieri,1598—1647)在《用新方法促進的連續不可分量的幾何學》一書中提出一個定理，今稱“卡瓦列里原理”．該原理包含平面和立體兩種情形[14][15]：

夾在同一對平行線之間的平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果截得的線段的長度總是相等，那么這兩個平面圖形的面積相等；夾在同一對平行平面間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等．

其中，立體的情形(圖3)就是我們耳熟能詳的“祖暅原理”，最早由公元5世紀中國數學家祖暅所提出．

在早期立體幾何教科書中，卡瓦列里原理的立體情形是作為研究幾何體體積的重要定理出現的．有的教科書設置練習題，要求學生類比立體情形的卡瓦列里原理，得出“平面情形的卡瓦列里原理”[16]．有的教科書指出，學生在根據卡瓦列里原理進行類比推理時可能會得出以下命題[17]：

圖3 卡瓦列里原理的立體情形 圖4 類比卡瓦列里原理得出的假命題

夾在兩個平行平面間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的周長總是相等，那么這兩個幾何體的側面積相等．

事實上，我們可以舉出上述命題的反例．如圖4，長方體ABCD-EFGH和四棱柱A′B′C′D′-E′F′G′H′夾在平面α與β之間，其底面全等．用平行于α和β的任意平面γ截這兩個幾何體，所得截面的周長均與矩形ABCD的周長相等，滿足上述命題的條件．設平面α與β的距離為h，則AE=h．若A′D′垂直于平面A′B′F′E′，則矩形ABFE與平行四邊形A′B′F′E′面積相等，A′D′⊥A′E′．當A′B′與A′E′不互相垂直時，可得A′E′>h．由于AD=A′D′，因此矩形A′D′H′E′的面積大于ADHE的面積，此時四棱柱A′B′C′D′-E′F′G′H′的側面積大于長方體ABCD-EFGH的側面積．因此，上述命題是假命題．

在強調類比推理具有或然性的同時，教科書設置了相關練習題，要求學生舉例說明類似的關于面積的錯誤結論．

3.3 圓與球

一些教科書設置練習題，要求學生通過類比先前學過的有關圓的命題，得出有關球的命題[18]，見表4．

表4 圓的相關命題與球的相關命題

3.4 三角形與三面角

有公共端點并且不在同一平面的三條射線，以及相鄰兩條射線間的平面部分組成的圖形叫做三面角．組成三面角的射線叫做三面角的棱，這些射線的公共端點叫做三面角的頂點，相鄰兩棱間的平面部分叫做三面角的面，相鄰兩棱所構成的角叫做三面角的面角，相鄰兩個面組成的二面角叫做三面角的二面角[19]．

早期教科書指出，關于三面角的許多命題可以通過類比三角形中的相似命題得出[20]．一些教科書指明，三面角中二面角和面角之間的關系，類似于三角形中角和邊之間的關系，三角形的邊對應于三面角的面角，三角形的角對應于三面角的二面角[21]．基于這樣的對應，早期教科書給出了三面角的一些命題，見表5．

表5 關于三角形與三面角的若干命題

除了上述命題，三角形全等的判定定理等在三面角中也有對應的命題．部分教科書將三面角的上述有關命題作為定理或推論，部分教科書則設置練習題，要求學生類比三角形的有關命題，陳述三面角的類似命題[22]．

3.5 平行四邊形與平行六面體

平行六面體是指六個面都是平行四邊形的四棱柱．由平行六面體的定義可見，平行六面體與平行四邊形之間存在著密切聯系．由平行四邊形的對角線相互平分，類似地有平行六面體的四條體對角線在各自的中點處相交[23]．類比平行四邊形的一些性質，可得到平行六面體的相應性質．例如，在平行四邊形中，兩條對角線的平方和等于四邊的平方和，通過類比，可以得到命題：“在平行六面體中，四條體對角線的平方和等于平行六面體十二條棱的平方和．”[16]這是一個真命題．

3.6 三角形與四面體

三角形是平面中邊數最少的多邊形；四面體是空間中面數最少的多面體．四面體的許多性質可由三角形的有關性質類比而來．例如，在圖5中，△EBF和△ABC的面積之比等于(BE×BF)∶(BA×BC)．類比該結論可得到[24]：圖6中的四面體O-ABC與O-A′B′C′的體積之比等于(OA×OB×OC)∶(OA′×OB′×OC′)．

圖5 三角形的一個命題 圖6 四面體的一個命題

4 證明中的類比

4.1 三角形與三面角

由于三角形和三面角之間的相似性，有關三面角性質的證明，往往與三角形相應性質的證明相似，故可類比三角形性質的證明來證明三面角的相應性質．表6給出了三角形“等邊對等角”與三面角“等面角對等二面角”的證明．

從表6中可見，只要將三面角性質證明中的字母V(三面角的頂點)去掉，就可以得到三角形相應性質的證明[20]．

表6 “等邊對等角”與“等面角對等二面角”的證明

4.2 平行線分線段成比例定理與平行面分線段成比例定理

在平面上，三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．此命題即為平行線分線段成比例定理，可用相似三角形性質加以證明．將此定理類比到空間中，可得命題：“在空間中，三個平行平面截兩條直線，所得的對應線段成比例．如圖7，利用面面平行的性質和平行線分線段成比例定理可以證明該命題．

圖7 平行面分線段成比例定理

平行面分線段成比例定理是平行線分線段成比例定理的一般化，兩定理的表述非常類似．有早期教科書[15]給出平行面分線段成比例定理的證明后，提出思考題：兩個命題十分相似，為什么平行面分線段成比例定理的證明，不類比平行線分線段成比例定理的證明呢？類比思想的運用往往基于不同數學對象之間的相似屬性，而在解決問題的過程中，應該對數學對象的特有屬性加以考慮，故不能盲目進行類比．教科書通過設置思考題，讓學生在思考“為什么不進行證明方法的類比”這一問題的過程中，明晰平面與空間之間的差異．

5 教學啟示

5.1 針對具體數學對象進行類比

美英早期立體幾何教科書針對平面角與二面角、圓與球、三角形與三面角等具有相似屬性的數學對象滲透類比思想．數學思想的培養應該以具體的數學概念、原理或證明作為載體，不能就“思想”談“思想”．類比思想的滲透需要以合適的數學對象為載體，例如選取三角形與四面體、等差數列與等比數列、圓與橢圓等具有相似屬性的數學對象，讓學生在定義、定理和證明方法的學習過程中感受類比所具有的創造性．

5.2 借助多種方式培養類比思想

圖8 三角形面積公式推導與三菱形體積公式推導

美英早期教科書在定義、命題和命題證明中滲透類比思想，學生根據教材的提示或要求，在類比舊概念得到新概念，類比熟悉的命題得出新命題，類比已掌握的證明方法證明新命題的過程中體會類比思想．今日數學教學中，教師可以在新概念、新命題或命題證明的學習過程中滲透類比思想．例如，在學習三棱錐的體積公式時，教師可以引導學生回顧推導三角形面積公式所用的方法，并將該方法類比到三棱錐中．如圖8，平行四邊形可以分割成兩個全等的三角形，任意三角形可看作由與其等底等高的平行四邊形沿對角線分割得到，故由平行四邊形面積公式可推導出三角形面積公式．類似地，三棱柱可以分割成三個體積相等的三棱錐，任意三棱錐可被視為由與其同底等高的三棱柱分割得到，故由三棱柱體積公式可推導出三棱錐體積公式．

另一方面，許多美英早期立體幾何教科書設置了有關類比推理的練習，今日數學教學中已較為少見．因此，教師在教學中也可從定義的類比、命題的類比推理和方法的類比三個角度入手，通過設置思考題、設計習題等方式滲透類比思想．

5.3 教學中揭示類比存在或然性

美英早期立體幾何教科書中出現了通過類比得出的關于二面角的假命題，這充分說明類比推理的或然性．一些教科書強調，通過類比得出的命題可能是假命題，這一做法可資借鑒．學生在初學立體幾何時，也常常會將平面幾何中的命題不加限制地類比到空間中，從而得出錯誤結論．例如，將“平面中過已知點作已知直線的垂線有且僅有一條”類比到立體幾何中，得到“空間中過已知點作已知直線的垂線有且僅有一條”的錯誤命題[1]．當學生出現類比錯誤時，教師應對學生運用類比思想的行為給予肯定，同時指明類比推理具有的或然性，讓學生明確類比推理所得的結論很可能是錯誤的，必須借助演繹證明才能證明數學發現的正確性．