從一道檢測題看解題的思維形態

陳 新 (江蘇省蘇州市蘇州高新區第一中學 215009)

數學解題離不開基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗．在實際解題過程中，“四基”反映在正確有效的思維，特別是在限時的檢測過程中遇到綜合問題的時候，“四基”會反映在如何進行方法的選擇、遇到困難時思維形態的轉變及解題過程中信心的大小對解題的心理作用．本文試通過蘇州市2019—2020學年第二學期高二學業質量陽光指標調研卷第21題的解答思維過程，分析解題時的思維形態，揭示思維的效能，以期在有限的時間內作出快速解答．

1 試題呈現

圖1

(1)求橢圓E的方程．

(2)在x軸上是否存在一個定點T，使得B，T，C三點共線？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由．

2 解法探究

第(2)問是直線與圓錐曲線相交問題．按直線與圓錐曲線相交時定點問題的通性通法，基本的思維方式是設出直線方程與圓錐曲線方程構成方程組求解．然而直線方程的形式有多種，由基本經驗知，直線過x軸上橢圓的焦點，可以將直線方程設為AB：x=my+1形式，其中m為參數，這樣點A，B均可由參數m來表示，繼而點C也表示了出來；再寫出帶參數的直線BC方程，若直線BC過x軸上定點T，則在BC方程中令y=0，即可求出點T的橫坐標，它與參數m無關．這樣就形成了解法1．

從解法1可以看到，沒有一定的基本經驗，用求根公式寫出方程的解時會產生畏懼心理．另外，在寫出方程的解后，用換元轉化思想也需要一定的基本技能，不然用求到的根寫出直線BC的方程會導致運算冗繁，對考生心理影響較大，易于受挫．

而事實上，在平時學習中更多的是運用韋達定理這一基本技能以減少運算，這是常用解法2．

問題來了，(*)式含有y2-y1，4y2-y1，不能直接將韋達定理代入，怎么辦？要用韋達定理，自然要想辦法將(*)式變為y1，y2的和與積形式，這是個難點．在此應積極展開思維，從目標、式子的結構形式，展開聯想和嘗試．

倘若沒有想到上述方法，或想到而無法達到目的，是否可以從幾何角度進行思考？也許這能讓我們柳暗花明，思路豁然開朗．

圖2

3 總結

縱觀上述解題的思維形態，對于問題,我們必須正確辨清問題所涉及的知識與問題解決所需的基本方法，從基本知識和基本技能出發，冷靜細心，敢于運算．遇到困難時，更需從基本經驗、數學的基本思想出發，咬定目標，堅定信心，勇于聯想，善于變通，才能攻堅克難．從核心素養的角度上講，前者是模型的運用，謂“數學運算”，后者是創建模型，屬“數學建模”．數學建模素養的達成較數學運算素養的達成更為困難，需要長期的借鑒與獨立思考的過程，學生才能建立正確分析事物的方法，養成分析事物的習慣，達到解決問題的快捷與有效．