新課標視域下一題多解的教學設計審視

楊利剛 (江蘇省蘇州中學 215007)

數學解題教學是日常數學教學的一個重要內容和形式．所謂一題多解，就是通過多種方法解答同一道數學習題．數學解題中采用一題多解，具有較好的教學價值，因而成為我國中小學數學教師實施解題教學的常用方法和手段．

隨著教育教學改革的推進和深化以及《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)的出臺和實施，教師需要認真學習、領會課標精神，將課標中數學學科核心素養的培養、發展落到實處．對于一題多解的教學實踐，應當與時俱進地順應新課標的理念要求，以更好發揮其應有的教學功能，更充分地體現其教學價值．

1 一題多解教學功能的思考和再認識

在數學解題教學中，選取一些有代表性的典型問題，引領學生多角度、多層次地展開解題探索和思考，從而獲得多種解題的思路和方法，有助于學生對數學知識的理解和鞏固，有助于學生感受、體悟數學知識間的聯系，從而有助于對數學內容的整體把握和良好認知結構的形成以及對數學思想方法的領會和自覺運用．這對學生數學遷移能力的形成和發展、發散性思維能力的培養和提高，進而發展其數學學科核心素養也有著一定的作用．

2 新課標要求下一題多解的教學定位

《課標2017》指出，“依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯．”“突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法；高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質．”具體地說，通過一題多解的解題教學，可以實現對不同章節、不同內容的復習鞏固，揭示不同章節數學知識之間的內在聯系．同時，在一題多解過程中，分析、比較相應的解題方法，挖掘內隱的數學思想，能更好地呈現數學內容的本質．

3 新課標視域下一題多解的課堂實踐及體會

習題是課堂教學內容的鞏固和深化，為學生數學學習提供平臺．對于復習課來說，復習題要關注知識的系統性，幫助學生理清數學知識的結構，使其整體理解、系統掌握學過的數學內容；要關注數學內容主線之間的關聯以及數學學科核心素養之間的協調，幫助學生在掌握知識技能的同時，進一步感悟數學的基本思想，積累數學思維的經驗．

下面結合一節高三數學復習課的課堂教學，從函數、數列、不等式、數學歸納法的內容主線談談新課標背景下“一題多解”的教學實踐和體會．

選取的數學問題是：“證明：當n≥3,n∈N*時，nn+1>(n+1)n成立”．(教材習題)

(1)視角一：數學歸納法下的解題審視

對原問題作一些變更，呈現為：n∈N*，試比較nn+1與(n+1)n的大小，并探索是否存在一般性的結論.若有，寫出該一般性結論，并予以證明；若沒有，請說明理由．

課堂分析：引導學生先作特殊探索，爾后通過觀察猜想是否具有一般結論．記f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n，n∈N*，展開如下探索：f(1)=12=1，g(1)=21=2，所以f(1)g(3)；f(4)=45=1 024，g(4)=54=625，所以f(4)>g(4)……根據上述探索，合情猜想：當n≥3,n∈N*時，有f(n)>g(n)．

由于上述猜想是一個與正整數有關的結論，學生自然而然地首先想到采用數學歸納法來證明.順應學生的思路，接下來進行推導證明．

證明 ①當n=3時，f(3)=81>g(3)=64，即n=3時，猜想的結論正確.

由①②可知，猜想的一般結論正確，即當n≥3,n∈N*時，有nn+1>(n+1)n．

說明將問題設問為當前形式，創設了一個探究的問題情境，由特殊到一般，然后歸納出一般結論，再用數學歸納法給出嚴格的邏輯證明，讓學生歷經探索、歸納、猜想以及數學證明的過程，這也是科學探索的一般過程．另外，證明過程中，由歸納假設推證n=k+1時，引導學生思考變形轉化，突破解題難點即可．

(2)視角二：數列單調性下的解題審視

這是一個與正整數有關的不等式，聯想兩個數列{nn+1}與{(n+1)n}，那么問題可以表述為：“已知數列an=nn+1,bn=(n+1)n，求證：an>bn(n≥3,n∈N*)．”

說明推導出數列f(n)的單調性，最后利用f(3)>1便可證得問題．同時讓學生再次明確,數列單調性問題的處理是通過逐項傳遞來實現的，這不同于連續函數的單調性處理，這也體現了數列是定義在正整數集(或其子集)上的一類離散函數的數學本質．

(3)視角三：連續函數單調性下的解題審視

(4)視角四：重要不等式運用下的解題審視

證明 不等式nn+1>(n+1)n對n≥3,n∈N*成立．

(5)視角五：數學高觀點下的解題審視

4 幾點反思及教學建議

數學教學中，一題多解具有對所學知識加以融會貫通的作用，不僅體現了解題能力的強弱，更重要的是其具有開放式思維特點，是一種培養學生創新能力的重要思維方法．

通過一題多解練習，可以提高習題的利用率，進行集約化教學，發揮典型問題的最大教學價值，切實提高數學教學效率．

通過一題多解練習，有利于培養學生站在不同視角，對問題有整體認識的意識，有利于提高學生分析問題、解決問題的綜合能力，達到熟練掌握知識和運用知識的目的，更重要的是可以培養學生的思維能力和創新精神．

通過一題多解練習，可以使學生更好地把握數學知識間的內在聯系，培養學生正確的數學觀，更加深刻地理解數學體系和邏輯結構．

當然，一題多解的練習要法乎自然，不要刻意追求.遇到合適的數學問題去展開一題多解的教學時，要在順應學生的數學水平和思維能力，以及順應學生基本想法的基礎上循循善誘，引領學生拾級而上，使其數學能力邁上更高的臺階．