讓學生真正經歷學習過程
——一節概率課的評述

趙學志 (首都師范大學數學科學學院 100048)

李燕茹 (北京市懷柔區第一中學 101400)

1 背景

概率是高中數學教學中的一項內容，其中的運算并不復雜，推理也不多.然而，在概率學習的過程中，學生所接觸的對象具有原始性、不確定性等特點，這使得他們很難用已有的解決數學問題的思維方法去求解“活”的概率問題．概率知識內容的這一特征，決定了教師在概率與統計教學中，要引導學生經歷更加“原始”的概率模型的構建過程及應用過程．

我們在此評析高中概率內容初始階段的一堂課，借此談一下對概率教學的一些理解與體會.

2 教學片斷實錄與評析

2.1 創設情境，引出新課

在這一片段中，教師組織學生討論熟悉的試驗，為學習古典概型作準備．

教師呈現問題：說出以下試驗的樣本空間．(1)投擲一枚硬幣，落地后哪一面向上；(2)投擲一枚均勻的骰子，觀察上面的點數；(3)從四人小組中選兩人為代表參加比賽．

生1：第一個試驗，有正面和反面．

生2：第二個試驗，點數有六種．

學生繼續回答，從略．

師：按以上三個試驗，回答下面的問題：(1)每個樣本空間所含樣本點的個數；(2)每一個樣本點發生的可能有性多大？(3)三個試驗的共同點是什么？

生3：第一個試驗有2個，第二個試驗有6個，(樣本個數)有限．

師：第一個試驗正面發生的可能性是多少？

生3：二分之一．

師：第二個試驗呢？

生3：六分之一．

師：(追問)第一個試驗為什么不是百分之六十？

生3：各面都一樣．

教師總結古典概型的特征，給出定義，下略．

從設計上看，教師讓學生通過觀察，初步體會古典概型的特征，進而共同總結出古典概型的定義，這是很自然的設計思路．在出示的例子中，樣本空間的第一個特征是有限性．這個特征比較簡單，學生容易看出，其回答也說明了這一點．然而，第二個特征如何得來是個問題．學生對擲硬幣試驗已經“很熟悉”了，也許小學階段就接觸到了，因此關于正反出現的可能性相同已經形成了定式．擲骰子也是類似，但是當教師進行追問時，學生就很難給出解釋了．

最后學生沒有清楚地回答出擲骰子各面出現的可能性相等的原因．問題的出現決不是教學上的失誤，這恰好說明教師對數學問題所具備的探究意識．教師通過提問發現了學生知識結構上的缺陷：僅是識記，沒有理解．那么這如何解決呢？

中學數學中的概率與統計內容連在一起，它們與其他的數學內容有著很大的區別．文[1]的作者提出，不適合將隨機變量與函數作類比，這是個關鍵點．然而在學習過程中，學生極易用原有的方式去理解概率中的問題．其實在統計的意義下，正反面可能性相同，不是百分之百對，但的確會讓答案對的可能性最大．這是概率的思維，是不能用確定性數學內容來解釋的．

2.2 概念辯析

在這一片段中，教師通過一些例子，讓學生進一步理解古典概型．

師：請舉出古典概型的隨機試驗．

學生討論，教師評述．

生1：從三個小球中，拿一個，球的大小相同．

生2：抽簽．

生3：扔粉筆，看扔出的距離．

師：距離都是多遠？

生3：……

(繼續討論)

教師呈現問題：你認為下列隨機試驗是古典概型嗎？(1)種了一顆種子，觀察其在實驗室里是否發芽；(2)向一個圓面內隨機投一點，觀察該點落在圓內的位置；(3)射擊運動員向一靶心射擊，命中10，9，…，0環．

生4：第一個不是，因為不等可能．

生5：第二個也不是，因為有“任意多”個點在圓內．

生6：第三個不是，環數不是等可能．

與特征的總結類似，問題又出在等可能上．“是不是等可能”，這是許多教師在類似的課堂上問的問題．它真的需要問嗎？

從現在人們普遍提及的核心素養的角度如何來看呢？數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程．其主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征．教師在這里提出了幾個很好的問題，讓學生用樣本空間來表征現實問題．學生給出了答案，教師默認式地給予肯定，其他學生也沒有提出疑問．然而，“得到數學研究對象”這個過程在哪呢？

我們首先要解決的是，什么是這里的數學研究對象？大多數人都會說樣本空間．這樣，上述三個問題的樣本空間分別為：{發芽，不發芽}，圓中的點，{0,1,…,10}．然后，再看兩個特性．抽象出樣本空間，觀察或確定樣本空間的特性，將這兩步分開，才是過程的體現．當然，即使是回答“正確”的學生，也很難將其思維過程展開．于是，教師的引導作用就要體現了．我們在這里用了帶引號的“正確”，是想說明其相對性．如試驗(2)，答題的學生將樣本空間抽象成一個圓，是一種自然的看法，但也不能說是唯一．我們可以把圓分成若干小塊，也可以用坐標加以區分，并要求坐標寫成一定的精度，這就使得樣本點數有限，不是嗎？

北師大版教材中，此類習題的寫法是“你認為……”，這種提問方法不無道理，因為使學生經歷數學抽象這個過程更重要．會抽象出樣本空間是關鍵，而是不是等可能這個答案不重要，重要的是學生有沒有合理的解釋．如同試驗(2)，其答案，“是”與“不是”都可以．而另兩個例子，答案似乎是確實的“不是”．兩者的區別在于后者(試驗(1)和試驗(3))已經將樣本空間確定了，其等可能性與實際情境相關．

這樣看來“是不是等可能”所問的并不是真正的數學問題，不這樣問反而更好，因為它沒有唯一“正確”的答案．

2.3 探究加法公式

這一片段中，教師引導學生總結概率的加法公式．

教師出示問題：(1)在拋硬幣的試驗中，求出現正面向上的概率；(2)在擲骰子的試驗中，求向上點數是3的倍數的概率；(3)在參加比賽的試驗中，求組長(特定一人)參加比賽的概率．

生1：題1中的概率是1/2．

生2：題2中的概率是1/3．

師：向上點數是3的倍數，這個事件中有幾個基本事件？

生3：兩個，點數3和6．

師：會不會同時發生？

生3：不能．

師：你能總結一下古典概型的概率計算公式嗎？

生4：事件A的概率等于A所含的樣本點數除以樣本點的總數．

教師的設計意圖在于用實例讓學生總結概率公式．從更一般的觀點看，這依然是一種計算能力．計算能力的前端是識別模式，用曹才翰先生對數學計算能力的概括，就是對數學材料的形式化知覺能力[2]．

高中學生自然熟悉簡單的加法運算規則與技巧，但加法如何適用于互斥事件的概率和，于他們而言卻是一個新的情況．在這個問題上，教師要花一定的時間．學生的難點在于將概率抽象成數學材料，并將該材料與加法運算相聯系．其實，用集合圖式來表示是有一定幫助的．因為一旦完整地建立起數學材料的知覺，每個樣本點有一個數(概率)，如同點的“重量”，那么多個樣本點對應的數是多少便自然得出了．這就是為什么學生很容易總結出概率公式，然而能否明確條件，又是另外一個問題了．

從數學本身來看，概率是測度的一種，其中的可加性是一種定義，我們不能期望此公式真正地從某處推出．在教學中，教師的著重點應是讓學生體會“和”事件的概率等于“分”事件概率的和．

在高中數學課程中，概率的初始部分充斥著各種名詞：試驗、事件、空間、樣本(基本事件)、互斥．這次新教材又將其中的概念重新調整了一下．但是，究竟用什么名詞不重要，關鍵是如何讓學生將這些“新”名詞與他們已有的數學知識和生活中的常識相聯系．

3 結語

教師在講授課程內容時，擁有對數學的深刻理解是不可或缺的，將數學內容變成學生可以理解的教育形態，亦是教師必須掌握的技能．讓學生“獲得問題情境的情境體驗和感悟”，這是在教學研究與討論中經常提及的，如何才能做到這一點，是一個長久的話題．雖然在一堂課上，學生的參與程度常常是課堂評價的一個指標，然而，學生的參與質量應該是更值得關注的．

在概率的起始課上，教師總能找出一些新穎有趣的例子，如概率論的起源、有關概率的故事等．然而，這除了引起學習興趣外，能傳遞怎樣有價值的數學信息則很難確定．這節課上，任課教師拋出了一些問題讓學生討論，這些問題也許不是很生動，但卻有明確的數學內涵．重要的是，教師能適時地在學生回答基礎上提出新問題，讓學生做進一步的思考，而當學生的表述不大合理時，教師也沒有過多地“糾正”．實際上，學生的認識需要一個過程，教者應當給予他們更多的時間，讓他們理解概率中的內容，比如：樣本空間到底是什么？這也是這節課的亮點所在．