幾何變換法讓壓軸題不再“壓”你

陳金紅 (湖南省常德芷蘭實驗學(xué)校初中部 415000)

張國平 (湖南省常德市教育科學(xué)研究院 415000)

中考壓軸題讓考生(也包括很多平時優(yōu)等的學(xué)生)望題生畏，但突破現(xiàn)象看本質(zhì)時可以發(fā)現(xiàn)，其實很多問題用“幾何變換”便可解決．在初中階段，包括平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射三種全等變換和相似、位似兩種保角變換，其中前者在全國各地的中考壓軸題中經(jīng)常“神出鬼沒”．本文結(jié)合2020年常德市中考壓軸題給出我們的教學(xué)觀察，讓壓軸題不再“壓”你！

試題已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∠ABC=30°，過點(diǎn)D作Rt△DEF，使∠DEF=90°，∠DFE=30°，連結(jié)CE并延長CE到P，使EP=CE，連結(jié)BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于點(diǎn)M，PB與EF交于點(diǎn)N．

(1)如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB=EP，②∠EFP=30°；

(2)如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時，連結(jié)BF，求證：∠BFD+∠EFP=30°．

圖1 圖2

圖3

(2)如圖3，延長DE到Q，使EQ=DE，連結(jié)CD，PQ，F(xiàn)Q．因為EC=EP，∠DEC=∠QEP， 所以△QEP≌△DEC(SAS)，則PQ=DC=DB.

因為QE=DE，∠DEF=90°,所以EF是DQ的垂直平分線，因此QF=DF．

又CD=AD，故∠CDA=∠A=60°，∠CDB= 120°，所以∠FDB=120°-∠FDC=120°- (60°+∠EDC)=60°-∠EDC=60°-∠EQP=∠FQP，從而△FQP≌△FDB(SAS)，因此∠QFP=∠BFD.又EF是DQ的垂直平分線，故∠QFE=∠EFD=30°，即∠QFP+∠EFP=30°，從而∠BFD+∠EFP=30°．

·教學(xué)觀察

1.本題是三角形的綜合題，考查了平行線分線段成比例、勾股定理、三角形全等的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，難度適中，屬于中考常考題型．限于篇幅，這里只談第(2)問．

2.標(biāo)準(zhǔn)答案給出了第一種幾何變換“平移”法，即我們常說的“見中點(diǎn)等倍延長”法，那“軸反射”變換是否可行呢？答案是肯定的.

1）基于智能手機(jī)的師星學(xué)堂平臺在一定程度上促進(jìn)了學(xué)生課堂的參與度和課下的自主學(xué)習(xí)。如在學(xué)生訪問次數(shù)上（圖1），除了兩次課上，學(xué)生積極參與課堂活動，訪問次數(shù)多外，在課下的訪問次數(shù)也相對較多；從學(xué)生上課活動量（圖2）和課程任務(wù)完成情況（圖3）的統(tǒng)計結(jié)果可以看出，一些學(xué)生能夠積極參與課堂活動，也能夠在課下及時查看課程學(xué)習(xí)資料、查看通知、完成學(xué)習(xí)任務(wù)等。

圖4

如圖4，將Rt△DEF沿DF作軸反射，得到Rt△DE′F,連結(jié)BE′．顯然有EF=E′F，DE=DE′，∠EDF=∠E′DF=60°，∠EFD=∠E′FD=30°，∠DEF=∠DE′F=90°．

連結(jié)CD，在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，則DB=CD.又∠ABC=30°,則有△DAC為正三角形，且∠CDE+∠BDF=180°-60°- 60°=60°．

由DB=CD，∠CDE=∠BDE′=60°-∠BDF，DE=DE′，得△CDE≌△BDE′(SAS)，故BE′=CE=EP，并令∠CED=∠BE′D=α．

再由BE′=EP，∠BE′F=∠PEF=90°-α，E′F=EF，得△PFE≌△BFE′(SAS)，故∠EFP=∠E′FB．

在Rt△DE′F中，∠BFD+∠E′FB=30°=∠DFE′，于是∠BFD+∠EFP=30°．

更可發(fā)現(xiàn)FP=FB，∠PFB=30°+30°=60°，故△FPB為正三角形.亦即本小題可以改編為“求證:△FPB是等邊三角形”．

3.上面用了平移、軸反射變換法進(jìn)行了證明，那么“旋轉(zhuǎn)變換”法是否亦可呢？答案仍是肯定的．

如圖4，如果將△FPE繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)到△FBE′位置，想法是好的但又是不現(xiàn)實的，因為FP與FB的數(shù)量關(guān)系不明朗．因此舍棄整體保留“部分”旋轉(zhuǎn)的方法，又結(jié)合結(jié)論必有∠PFB=60°，故“旋轉(zhuǎn)變換”法具體是：線段FE繞點(diǎn)F逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段FE′，連結(jié)BE′，DE′，顯然∠DFE′=60°-30°=30°=∠DFE，再加上EF=E′F，公共邊FD=FD，可知△FDE≌△FDE′(SAS).以下與“軸反射變換”法完全類似．

綜上可知，平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射變換法都可以解決問題，足見重視三種“全等”變換教學(xué)的重要性，同時由此也感受到了這三者間在運(yùn)用時是相互通融的而不是彼此“觀望”的．

4.其實此小題盡管圖形變化了，有變化的結(jié)論如第(1)①小問，但第②小問與第(2)問其實本質(zhì)是一樣的．即當(dāng)圖2中的∠DFB=0°，即點(diǎn)D，B，F(xiàn)共線時(第(1)問條件)，30°=∠BFD+∠EFP=0°+∠EFP=∠EFP，即∠EFP=30°,正好是特殊情形！

5.其他方法概要展示

圖5

方法1 如圖5，作點(diǎn)F關(guān)于FD的對稱點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，CQ，EQ，CD，有∠EFD=∠EQD=30°，DQ=DF，可證得△PFE≌△CQE，得出PF=CQ.由CD=DB，∠CDQ=∠BDF=60°-∠ADQ，可得△QDC≌△FDB(SAS)，得到∠CQD=∠BFD，從而結(jié)論得證．

圖6

方法2 如圖6，作點(diǎn)P關(guān)于EF的對稱點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，EQ，F(xiàn)Q，CD，有△PFE≌△QFE，則∠PFE=∠QFE，PE=QE，∠PEF=∠QEF，進(jìn)而有∠CED=∠QED，可證得△CED≌△QED(SAS)，得出DQ=CD=DB，∠CDE=∠QDE，有∠QDF=∠BDF，從而得出△QDF≌△BDF(SAS)，得到∠QFD=∠BFD，結(jié)論得證．

上面兩種方法即作點(diǎn)關(guān)于直線對稱的方法也就是“軸反射變換”的思路．

圖7

圖8

上面兩種方法即取線段中點(diǎn)的“三角形相似”方法,就是“相似變換”的思路．

圖9

方法6 如圖10，延長CD，使DQ=CD，連結(jié)BQ，PQ，可證得等邊△BDQ≌等邊△ADC.由ED是△CPQ的中位線，得出△PBQ≌△FBD，進(jìn)而得出PB=FB，∠PBQ=∠FBD，所以∠PBF=∠DBQ=60°，因此△PBF是等邊三角形，從而結(jié)論得證．

圖10

上面兩種方法即取線段中點(diǎn)(或見中點(diǎn)等倍延長)的“三角形全等”方法，就是“合同變換”的思路．

可見，圖形變式有變化量，更有“不變量”，且正是“命題”的契機(jī)點(diǎn)，同時也在暗示幾何變換方法就是解決問題的首要方法之一．由此我們也看到了題目中(1)(2)兩問間的本質(zhì)聯(lián)系——特殊到一般．這也是突破壓軸題教學(xué)不可忽視的一個重要環(huán)節(jié)，即教后反思“找聯(lián)系”！恰當(dāng)使用幾何變換法完全有章可循，讓壓軸題不再“壓”你，這其中既包括學(xué)生，更應(yīng)該包括教者自己．