問題驅動 積累經驗 提升素養
——以“6.1函數(1)”教學為例

黃利娜 (江蘇省蘇州工業園區星灣學校 215021)

函數的概念以其高度的抽象性和概括性成為初中數學教學的難點和熱點.筆者精心創設情境，以問題驅動探究活動，讓學生在“做”的過程和“思”的過程中經歷函數概念的形成過程，積累數學活動經驗，取得了較好的教學效果.本文梳理該課主要片段和反思，并給出教學立意，供同仁研討.

1 教學片段

1.1 片段一：創設情境，問題驅動，積累基本活動經驗

情境1 汽車加油

圖1

問題1同學們都見過給汽車加油嗎？加油過程中，你會關注哪些量？(金額、油量、單價)

問題2觀看加油視頻，觀察在加油過程中，哪些量是不變的，哪些量是變化的？

問題3舉例說明，生活中有哪些量是常量，哪些是變量？

問題4請再次觀看視頻，觀察金額和油量是怎樣變化的？

問題5油量如果為1升，那么金額是5.54元；如果為2升，那么金額是11.08元；如果為x升，那么金額是5.54x元.即油量變化，金額隨之變化，那么如果油量確定，金額會怎樣呢？

問題6如何理解“金額也確定”？(存在且只有一個，更簡潔一點，可以表述為“唯一”)

教師講授：我們可以用這樣一段話來描述在加油過程中，油量和金額的變化關系：金額隨著油量的變化而變化，油量確定，金額有唯一的值與之對應.

設計意圖給汽車加油是學生非常熟悉的生活情境，通過觀看視頻和問題1～3激活學生已有的生活經驗，充分激發學生的學習興趣，讓學生了解生活中的“常量”和“變量”，并初步感受兩個變量之間的變化關系.問題4～6引導學生在第二次觀看視頻時帶入數學思考，聚焦兩個變量：金額和油量，進一步探究兩者之間的變化關系，積累基本活動經驗.

1.2 片段二：問題引領，自主探究，遷移活動經驗

情境2 蘇州市某日氣溫變化

圖2

問題1在氣溫變化過程中，你能找出兩個變量嗎？

問題2如果時間是凌晨2點，那么氣溫是18℃；如果時間是下午13點，那么氣溫是24℃.你能用類似于情境1中的一段話來描述“氣溫”和“時間”這兩個變量之間的關系嗎？(小組交流討論)

情境3 工作人員根據水庫的水位變化與水庫蓄水量變化情況制作了如下表格：

水位h/m106120133135…蓄水量V/m32.30×1077.09×1071.18×1081.23×108…

問題3同學們能找到這一變化過程中的兩個變量嗎？

問題4你能用一段話來描述水位變化過程中，水位和蓄水量之間的變化關系嗎？(獨立思考探究)

情境4 用火柴棒搭小魚

小魚的條數n火柴的根數S18214320……n6n+2

圖3

問題5搭小魚的游戲大家玩過吧？搭1條小魚需要8根火柴棒，搭2條小魚需要14根，那么搭3條小魚需要多少根呢？(20根)

問題6是數出來的嗎？還是有規律呢？(有規律，每多1條小魚就加6，搭3條小魚就加2個“6”，即8+6×2=20.)

追問：那么搭n條小魚呢？(S=8+6×(n-2)=6n+2.)

問題7在搭小魚的過程中，你能找到兩個變量嗎？

問題8類似地，請用一段話來描述在搭小魚過程中，小魚條數和火柴棒根數之間的變化關系.

設計意圖情境2～4呈現了函數的不同表達形式，豐富的情境能夠牢牢抓住學生的注意力.以問題引領學生進行自主探究，學生可以借助情境1的活動經驗，通過合作、討論，進一步感受兩個變量之間的變化關系，感受到概念的潛在存在，此時函數的概念便呼之欲出了.

1.3 片段三：挖掘共性，內化概念，形成思維經驗

問題1情境1～4有哪些共同之處？

問題2情境1～4都發生在某一個變化過程中，都有兩個變量，并且這兩個變量具備某種對應關系.這種關系我們就叫函數關系，那么同學們能得出函數的概念嗎？

教師講授：在一個變化過程中的兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么稱y是x的函數.這里需要注意對于x的每一個值，y都有“唯一”的值與它對應，其中我們把最初發生改變的量x叫自變量，y叫因變量.如情境1中油量是自變量，金額是因變量……函數的英文是“function”，最早是由英國數學家萊布尼茨提出來的，后來由我國清代數學家李善蘭翻譯得到：“凡此變數函彼變數，則此為彼之函數”，這里的“函”是包含的意思.

問題3說說生活中哪些變量之間存在函數關系，并指出其中的自變量.

設計意圖問題1～2引導學生挖掘共性，體驗現實問題數學化的過程，經歷函數概念形成最關鍵的一步——抽象、概括、歸納，問題3鼓勵學生積極尋找生活中的例子，幫助學生更好地把握函數概念的本質，形成思維經驗.

1.4 片段四：應用升華經驗，提升素養

情境5 如圖4，長為10 m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端A到地面的距離為8 m，梯子頂端A向下滑動，它的底端B向外滑動.

圖4

問題1在梯子滑動過程中，你能找到其中有哪些常量和變量嗎？

問題2在梯子滑動過程中有很多常量和變量，我們說函數是研究兩個變量之間的關系，不妨考慮∠CA′B′和∠CB′A′，它們之間是函數關系嗎？請說明理由.

問題3你是怎么確定有唯一值的呢？

(生：∠CB′A′=90°-∠CA′B′.)

問題4原來這兩個變量之間的函數關系可以通過這樣的形式表示出來，還有同學能舉例說明嗎？

設計意圖開放性問題設計，旨在激活學生思維，大膽應用“函數”概念和已有的基本活動經驗，創新性地研究問題.由于這里的量較多，學生可能會有錯誤的生成，如“△CAB的面積和△CA′B′的面積是函數關系”，教師鼓勵其他學生幫助解決問題，啟發所有學生共同探索、解決問題，感受成功與挫折，分享發現和成果，提升數學核心素養.

2 幾點思考

2.1 發展抽象思維，積累基本活動經驗

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志.幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果.初中函數概念是常量數學過渡到變量數學的難點之一，更是一個帶有濃重抽象色彩的概念.筆者創設了貼近學生生活實際的情境1，有利于學生體驗與理解、思考與探索，加以問題驅動，可使學生主動參與到對常識材料進行細致入微的探究性活動中，了解生活中的常量和變量，感受兩個變量之間的變化關系，發展抽象思維，使其在體驗中探究，在思考中積累數學活動經驗.

2.2 遷移活動經驗，理解內化概念

數學概念是數學知識的基礎，是數學思想與方法的載體，是數學學習的核心.數學概念教學應培養學生以數學的意識為指導，重視概念的生成過程.片段二展示了多種生活情境，以問題串的形式啟發學生思考，助推了原經驗的內化，促發了新經驗的生成.片段三引導學生經歷分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，挖掘共性，將現實問題數學化，使函數的概念水到渠成.以上片段層層遞進，問題也逐漸深入，引導學生通過大量的實例歸納出兩個變量之間的相互聯系，進而總結概括函數的概念，由此發展學生的探究能力和抽象概括能力，也有利于其他概念生成的自然性與科學性，促進學生形成完整的認知結構.

2.3 增強數學意識，提升數學核心素養

史寧中教授將數學學科的核心素養解讀為三句話:用數學的眼光觀察世界,用數學的思維分析世界,用數學的語言表達世界.所謂用數學的眼光觀察世界，即養成良好的數學思維習慣，增強數學意識.在學生對于函數的概念有了一定認識的基礎上，片段四旨在引導其用內化的函數概念去認知其他事物的特征，進而能用類似的方式解決其他問題，以便潛移默化中形成一種用數學的眼光觀察世界的習慣.在問題解決中靈活運用函數概念，在問題中形成數學化，積極鼓勵學生自行設計函數的例子，可以使學生對函數概念的本質屬性有更為深刻的理解，同時有助于增強數學意識、培養科學探索的精神，使數學核心素養得到有效提升.