數學眼光的內涵及培養

胡晉賓 (江蘇第二師范學院數學系 210013)

劉洪璐 (江蘇省南京師范大學附中數學組 210003)

1 問題提出

當下數學課改中倡導“三會”理念，“提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”[1]．從某種意義上來說，“三會”就是數學教育的終極目標，也是高中階段核心素養的本質．相對于“三會”中的數學思維和數學語言來說，數學眼光(和“數學的眼光”等價)雖然經常被使用，但是它相對“年輕”，在實際教學中存在很多歧義和誤讀．比如，在數學教育中常見術語有數學知識、技能、能力、思維(思想)、文化等，數學眼光的內涵和這些似乎都有聯系，但是具體怎樣去界定則未見系統論述．如果含混地說數學眼光本質上是核心素養的綜合體現，那么就很容易加重概念的模糊性．如果把“三會”當做一種終極的上位培養目標，那么會在教學轉化時存在一定的落地困難．由此可見，數學眼光該怎樣去界定和剖析乃至培養，是個亟待研究的問題．

2 內涵思辨

2.1 眼光的語義

眼光有以下幾種語義：第一，名詞，視線的意思．例如：大家的眼光都集中到他身上．第二，觀察鑒別事物的能力，眼力．例如：這輛車挑得好，你真有眼光．第三，指觀點．例如：老眼光，用發展的眼光看問題．[2]實際上，一般語言中所說的眼光，比如說這人很有眼光，意思是見解認識獨到深邃，考慮問題長遠非凡．

2.2 內涵厘清

數學眼光的本質是什么呢？通常所說的數學眼光，當然不是生理意義上的眼光．比如歐拉在失明以后還能做高深的數學研究，顯然不能說此時他沒有了數學眼光．從本質上來說，相對于沒有學習過數學的人或數學不好的人來說，具有數學眼光的人擁有略勝一籌或者與眾不同的數學能力(核心素養)或觀念意識．

數學眼光的特點是什么呢？不妨先比較后回答．既然有數學眼光，那么也就有物理眼光、美術眼光、語文眼光、體育眼光等．如果說物理眼光考察的是物質和變化、美術眼光關注的是造型和色彩、語文眼光聚焦的是情感和表達、體育眼光考量的是體質和技能的話，那么從根本上來說，數學眼光就是生發于數學學科特性視角的一種思考，關切的是“數學是數量關系和空間形式”內涵，彰顯的是“思想材料的形式化抽象”特點．比如紙盒子與三視圖問題中，并非就是去打開和折疊紙盒子，而是要最終在大腦中建立表象并進行空間想象．再如，著名的哥尼斯堡七橋問題，不是去關心河流的長寬、水質的清濁、橋梁的色澤、材料的軟硬等，而僅僅考慮島嶼和陸地之間借助穿河而過的橋梁之間的結構關系，將橋抽象為線段，將島嶼和陸地抽象為點(空間形式)，最終轉化為一筆畫問題加以解決．正因如此，數學課程標準中強調的“數學地思考”就是“在大腦中”思考和解決問題，而無須實際地操作．[3](即使有“實實在在的”實際操作，那也僅僅是“輔助的思維工具”.)換句話說，這就是數學和其他學科的差異所在，也就是數學眼光的要害所系．

數學眼光體現了什么數學核心素養呢？史寧中指出，數學教育的“終極培養目標都可以描述為：會用數學眼光觀察現實世界，會用數學思維思考現實世界，會用數學語言表達現實世界”[4]．數學眼光從本質上來說是核心素養的體現．我們不妨用斯托利亞爾和弗賴登塔爾的話語來解讀數學眼光．斯托利亞爾認為，“數學教學應該是數學活動的教學”，并且指出數學活動可以分為3個階段：“第一，經驗材料的數學組織化；第二，數學材料的邏輯組織化；第三，數學理論的應用．”顯然，上述3個方面大致對應著3個基本思想，即抽象、推理和建模．換句話說，我們可以對“經驗材料”作些拓展，數學的思考對象不一定就是物質層面的經驗材料，也有可能是精神層面的經驗材料，數學抽象即是在相關事物中提煉出更加抽象化和一般性的數學內涵．因此，數學眼光主要涉及經驗材料的數學組織化階段．在弗賴登塔爾數學化理論中，數學化有水平和垂直數學化之分，其中水平數學化和現實有關聯，數學眼光主要就是發生在水平數學化階段．現在有些論文中把從現實中抽象出數學問題，直至最后用數學方法加以解決的整個過程，都當作數學眼光，這種把垂直數學化的相關工作也泛化為數學眼光的做法是不合適的．因為如果這樣泛化，那么就沒必要提及另外的“兩會”即數學思維和數學語言了．

如果用“四能”(發現、提出、分析和解決問題)來解釋數學眼光的話，數學眼光主要對應發現和提出數學問題這兩個階段．對于數學活動來說，數學眼光最為重要，主要體現在：從相關的問題中發現數學內涵，或者有了數學內涵之后怎樣去想到現實案例．至于接下來該怎樣去解決問題、怎樣去表達推廣，這些就是“三會”中的另外“兩會”，即用數學思維去思考和用數學語言去表達的事情了，已經不再是數學眼光的“地盤”了．正因如此，史寧中等認為，數學眼光主要表現為三大基本思想中的數學抽象，主要涉及數學抽象和直觀想象兩種核心素養．而數學思維主要表現為推理，數學語言主要表現為模型．它們三者分別呼應數學的高度抽象、邏輯嚴謹和應用廣泛的特點．上述關系可以用圖1來表示．

圖1 “三會”、基本思想與數學特點對應關系

綜上，數學眼光是數學學科核心素養的具體表現和數學教學的最終培養目標之一．數學眼光主要就是在現實與數學之間進行的思維切換，也即：立足知識儲備，關涉活動經驗，借助數學抽象和直觀想象，從現實案例“看到”數學內涵，從數學內涵“想到”現實案例．在數學學習和實踐中，當我們看到相關的現實情境后，具有數學眼光的人會不由自主地抽象出相關數學知識，而一旦提到某個數學知識，也會自動想象到現實中的具體案例．

2.3 維度劃分

基于上述定義，數學眼光的理論框架如圖2所示．第一，現實維度(或者說情境與問題維度)：生活現實、數學現實、其他學科現實(或者熟悉的情境、關聯的情境、綜合的情境)．(水平可以理解為從低到高共3級.)第二，素養維度：數學抽象，直觀想象．從現實案例“看到”數學內涵主要是數學抽象，從數學內涵“想到”現實案例主要是直觀想象．水平劃分可以對照課標中的刻畫，如表1和 表2所示．[1]課標中對數學抽象和直觀想象的水平劃分是按照情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思4個角度來闡述的，實際上如前所述，思維與表達、交流與反思涉及“三會”中的后“兩會”(數學思維和數學語言)，和數學眼光不相吻合，故而不予考慮．第三，數學維度(或者說知識與技能維度)：數與代數，圖形與幾何，統計與概率．(綜合與實踐領域是綜合運用前述3種領域知識，故而不作獨立維度.)

圖2 “數學眼光”模型示意

3 機理探討

3.1 發生機制

數學眼光是怎么運作的，將直接涉及怎樣培養和落實．

首先，數學眼光和知識技能有關．沒有知識作支撐，是不宜奢談眼光的，知識越多越有利于產生數學眼光．比如，張景中院士的《數學家的眼光》[5]中的案例，閱讀之后讓人嘆為觀止．數學家的眼光和他們自身淵博的知識基礎、高超的數學能力以及豐富的研究經歷有關系．顯然，他們的數學眼光比普通人更加獨到、深刻、犀利、敏銳、多元．他們往往會看到別人看不到的數學關系，抽象出較為深刻的數學內涵，直觀想象到更多的現實案例等．當然，我們也可以這樣理解，接受過好的數學教育的人相較于沒有接受過好的數學教育的人，數學眼光也會有如此差異．

其次，數學眼光和活動經驗有關，這一點與教師平時的教學有關．雖然當前的教材中有很多情境和生活的案例，但是要讓學生養成數學眼光，還需要個體日積月累的實踐磨礪．顯然，具有數學眼光或者數學眼光厲害的人，不一定應試能力就很強．

表1 數學抽象水平劃分

表2 直觀想象水平劃分

再次，數學眼光和聯系實際的意識與能力有關系，最為重要的是抽象能力以及直觀想象能力．就數學抽象而言，按照鄭毓信的分類，主要有等置抽象(也叫等價抽象，比如從數量中抽象出數)、理想化抽象(比如在生活中抽象出點、線、面概念，以及哥尼斯堡七橋問題的歐拉解決等)、強弱抽象和存在性抽象(比如抽象出虛數i及無窮遠點)等種類．[6]實際上，限于學生的水平，日常中主要是前3種抽象．就直觀想象而言，需要強調的是，雖然數學強調邏輯嚴謹，但是數學學習和研究中直觀和想象無處不在，我們無論如何強調都不為過．

3.2 實例剖析

以下就親身經歷的2個案例來加以說明．

(1)集合案例

我們在編寫集合教材時安排了以下“閱讀題”作為練習，以期培養學生的數學眼光：“一位漁民非常喜歡數學，但他怎么也想不明白集合的意義．于是，他請教數學家：‘尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？’集合是不定義的概念，數學家很難回答那位漁民．有一天，他來到漁民的船上，看到漁民撒下魚網，輕輕一拉，許多魚蝦在網中跳動．數學家非常激動，高興地告訴漁民：‘這就是集合！’”[7]顯然，水里的魚是全集，打進漁網的魚和漏網的魚正好是集合的互補關系．

打魚的現實和其中的關系刺激了個體的思考，從中抽象概括出數學集合知識．更進一步，從中還可以“看出”著名的等周定理．當然，一旦提到集合的概念，我們還會想到現實中的更多案例．

(2)圓錐曲線案例

圖3 壁燈與圓錐曲線

在許多地方都有類似如圖3所示的燈具．晚間點亮的時候，就會發現墻壁上有曲線的影子．它看起來像是拋物線，果真如此嗎？實際上，圓錐曲線可被看作是用一個平面從不同角度去截取圓錐后得到的截線：當平面經過圓錐面的頂點時，可以得到等腰三角形；當平面與圓錐面的軸垂直時，可以得到一個圓；當平面與圓錐的軸夾角不同時，可以分別得到橢圓、雙曲線和拋物線．圖3中的燈泡就相當于點光源，發出光之后被燈罩阻擋，形成一個類似圓錐的光柱．而這時墻壁就相當于截平面，顯然這個截平面平行于圓錐軸線，所以它是雙曲線．

反思上述過程可以發現：首先，個體需要具備相應的數學知識和經驗．其次，相關場景激活了大腦中的原有知識，個體產生了數學抽象、直觀想象、聯想類比等思維活動．再次，個體把相應現象和數學知識做了模式識別和關聯匹配，或者利用數學知識去搜尋現實中的模型并得到了圓滿的解釋，突然領悟到數學原來在這里．

4 培養策略

4.1 經歷知識生成，發展概括抽象

數學知識的學與教中既有過程也有結果．這種過程主要就是弗賴登塔爾所說的數學化．數學眼光中，主要是和現實相關的水平數學化(而非垂直數學化)．數學眼光的培養要多關注應用，密切聯系，經歷過程，從實際和應用中發展學生的概括抽象能力，幫助學生把握知識本質；盡量圍繞數學的內涵和本質，結合不同現實(生活現實、學科現實和數學現實)展開日常的教學．當然，我們也必須指出，要防止以下的幾種誤區：數學課中的去數學化，沒有聚焦數學主旨；數學課的庸俗化，缺少數學味道；數學的泛情境化，即每節課都必須要情境或生活化．

4.2 發展直觀想象，強調關聯轉換

數學學習與研究中不僅有基于模型的直觀和表象把握，而且有汪洋恣肆的想象和聯想．正因如此，伏爾泰說數學之神阿基米德比荷馬更有想象力．數學發展歷史告訴我們，它是鮮活豐富的，是激情四射的．不能因為數學的嚴謹性而窒息了數學中的想象．想象和數學不是截然對立的，甚至文學和數學也有相通和互補的地方．比如，歷史上就有多個數學出身的文學家，如羅素、索爾仁尼琴、庫切獲得過諾貝爾文學獎．再如，有很多數學家的文學修養很高，比如華羅庚、蘇步青、丘成桐、張景中等．總之，“科學和藝術在山底下分手，在山頂上會合”．為了培養學生的數學眼光，教師在備課的時候應該基于學生的現實，設計相應的環節，加強不同知識之間或者知識與生活實踐之間的聯系；多關注數學文化，能夠在生活常識和數學知識之間、在數學知識的不同學科應用和前后之間切換(比如數形結合、前后呼應)．

4.3 積累活動經驗，注重數學應用

現實教學中我們往往功利地短視于應試，而忽視數學素養的積累和沉淀．數學學習和教學不僅僅是讓學生掌握一些靜態死板的知識，或熟練一些推算技能，或掌握一些應試技巧，還需積累一些經典案例，因為這遠勝一打抽象理論．因此教師應該在日常教學中，經常和學生一起戴著“數學眼鏡”，用數學眼光來審視多重現實(生活、數學和其他學科)，融入不同的知識學習；挖掘整理一些經典案例，讓學生逐步積累相應活動經驗，關注數學綜合應用與反思，煉就數學眼光的“火眼金睛”．此外，教師還可以讓學生多閱讀數學科普讀物，以便開闊眼界、砥礪眼光．