基于學生數(shù)學交流能力的微思考

范建兵 (江蘇省蘇州高新區(qū)景山實驗初級中學校 215000)

許 彬 (江蘇省蘇州中學園區(qū)校 215000)

國際學生評價項目(PISA2012)的數(shù)學測評框架中，數(shù)學素養(yǎng)由三種教學過程和七種基本能力構成．七種基本能力為：交流，數(shù)學化，表征，推理和論證，設計問題解決策略，使用符號、公式、專業(yè)語言和運算，使用數(shù)學工具．在這七種基本數(shù)學能力中，交流既是構成其他數(shù)學素養(yǎng)的基本要素，又是發(fā)展其他數(shù)學素養(yǎng)的基本途徑之一，因為只有學會數(shù)學交流，并且不斷提高數(shù)學交流的深度，才能使學生達成對數(shù)學知識的理解，促進數(shù)學思維的發(fā)展，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)[1]．現(xiàn)結合許彬老師執(zhí)教的蘇科版教材八年級上學期第二章第5節(jié)“等腰三角形的軸對稱性(第1課時)”的教學片斷，談談教學中如何培養(yǎng)學生數(shù)學交流能力．

1 從“看”到“做”，在實驗活動中培養(yǎng)學生交流能力

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(下稱《課標2011》)進一步提出“學生學習應當是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程．認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探究、合作交流等，都是學習數(shù)學的主要方式”[2]．有教研團隊調查發(fā)現(xiàn)，初中生中喜歡數(shù)學交流的只有17.3%，并且隨著年級的升高在逐年下降．因此，提高初中生的交流意識，積極培育學生的質疑和合作能力已是課堂教學的重要、迫切任務．

數(shù)學交流能力的培養(yǎng)離不開課堂教學活動的實施，問題情境、實驗活動都是教學過程中促進師生及生生交流的重要方式，其中情境問題的高質量、實驗活動的有效率、教師提問的準確性等都是克服“一看就懂、一做就錯”這一尷尬現(xiàn)狀的有效途徑，都會影響到學生對數(shù)學交流的認知和理解．

1.1 在活動中豐富學生“看”的體驗

教學片斷1 觀察與思考．

問題1數(shù)學之美無處不在，下列美麗的圖案(圖1)蘊含了哪些數(shù)學知識？

答：蘊含了軸對稱的知識．

圖1

問題2利用剪紙的方法，老師按照下圖(圖2)的步驟操作，你覺得老師手中的紙片是什么形狀的？

答：等腰三角形．

圖2

新知識的獲得應該是在學生已有知識基礎上的自然生長，兩個不同層次的“觀察”就是由軸對稱的生長而來，能夠豐富學生“看”的體驗．問題1通過回顧軸對稱一節(jié)中學生共同欣賞過的美麗剪紙，體現(xiàn)數(shù)學學習的意義與價值，增強學生對圖形之美的理解．問題2通過觀察教師剪紙的過程，引導學生進一步結合已有的學習經(jīng)驗，形成圖形(等腰三角形)再探究，暗示了等腰三角形的研究與軸對稱內容有一定的關聯(lián)．這樣的剪紙示范通俗而易懂，通過觀察，大部分學生很容易理解剪紙的目的和依據(jù)，為進一步學習與交流奠定了基礎．

1.2 在實驗中培養(yǎng)學生“做”的能力

蘇霍姆林斯基說:“手是意識的偉大培育者，又是智慧的創(chuàng)造者．”動手操作是學生由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的必要手段，是學生手、眼、腦等多種感官協(xié)同活動的過程．多種感官參與學習活動，不僅能使學生學得生動活潑，而且對知識的理解更深刻，記憶更牢固，有利于發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力[3]．因此，在實驗中培養(yǎng)學生“做”的能力，有利于多視角、全方位地培養(yǎng)學生的數(shù)學交流能力．

教學片斷2 實驗與思考．

圖3

問題3你能利用手中的紙片(圖3)，通過折和剪的實驗過程，得到一個等腰三角形嗎？

問題2的剪紙示范運用的是矩形紙片，問題3的數(shù)學實驗卻是要從一個不規(guī)則的圖片中剪出一個等腰三角形來．“看”是一種視覺感受，“做”是一種操作體驗．“看得懂”不等價于“想明白”，也不一定是“剪得出”，應當讓學生經(jīng)歷“思考與思辨”的實驗過程，先獨立思考，再小組交流自己的操作過程和操作體驗，一起歸納活動中的思考與體會．從“看得懂”到“做得出”需要這樣的思與剪、說與辨的體驗過程，這既能夠發(fā)展學生的空間觀念，有助于發(fā)現(xiàn)問題與提出問題經(jīng)驗的積累，也能夠提升學生的動手、動腦、動口能力，培養(yǎng)其數(shù)學交流的意識和能力．

2 從“說”到“寫”，在展示交流中培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力

《課標2011》在闡述思維能力中指出“要求學生合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點”，在解決問題能力中要求“會使用數(shù)學語言表達問題，進行交流，形成運用數(shù)學的意識”．

2.1 驗證性質，培養(yǎng)學生語言表達的能力

教學片斷3 猜想與驗證．

問題4利用實驗操作的方法，大家提出了兩個猜想：等腰三角形的兩底角相等；等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．你能驗證這兩個猜想的正確性嗎？

生1：我將等腰三角形沿底邊上的中線所在的直線折疊一下，發(fā)現(xiàn)它們有些邊和角是重合的，可以直接得到這兩個猜想是正確的．

生2：生1這樣做并不好，你用實驗獲得了猜想，再用這個實驗來驗證性質，這是自相矛盾的．我是這樣做的：用量角器和直尺分別量一量有關的邊和角，就能夠得到這兩個猜想是正確的．

教學中通過數(shù)學實驗讓學生歸納、猜想等腰三角形的性質，但猜想是否正確，還需要進一步的驗證以及論證．驗證的過程可以讓學生說一說、辯一辨，盡情地展現(xiàn)學生的思考．你給學生舞臺，學生還你精彩．通過數(shù)學交流能使學生在學習中充分實現(xiàn)自身的主體地位，充分表達自己的理解和認識，更好地體驗數(shù)學、體驗成功、體驗成長．此外，學生還可以通過與老師、與同學的思辨和交流，發(fā)現(xiàn)自身的不足，促進自己的思考，促使自己的數(shù)學表達更加精煉和嚴謹．因此，課堂上交流與展示對猜想的各種思考，能夠讓學生進一步地實現(xiàn)用數(shù)學的語言表達問題，是培養(yǎng)學生數(shù)學交流素養(yǎng)的重要機會．

當然，度量可能會有誤差，教師還可以用更加精準的數(shù)學軟件進行驗證．如果能夠借助“幾何畫板”來動態(tài)地展示對猜想的驗證，似乎比量一量來得更有說服力．如圖4，變化動點A的位置，則兩邊AB，AC的長度和兩角∠B，∠C的度數(shù)會發(fā)生變化，若有AB與AC的長度相等時，則必有∠B=∠C；如圖5，變化動點A的位置，觀察兩邊AB，AC的長度關系與圖中底邊高線AF、中線AD、頂角平分線AE的分布情況之間的關系，若有AB與AC的長度相等時，則發(fā)現(xiàn)三條線段重合．這樣的動態(tài)呈現(xiàn)帶來滿滿的視覺沖擊，能夠吸引學生的眼球，在學生心中埋下神奇的數(shù)學種子，也讓學生進一步理解猜想的合理性．

圖4 圖5

2.2 推理性質，培養(yǎng)學生書面表達的能力

教學片斷4 推理與證明．

問題5你能用說理的方式來進一步證明你的猜想嗎？

圖6

如圖6，學生會添加輔助線并用全等的知識來進行證明．

方法1 過點A作AD⊥BC，可以通過HL來證明△ABD≌△ACD，從而得到∠B=∠C．

方法2 也可以作AD平分∠BAC，可以通過SAS來證明△ABD≌△ACD，從而得到 ∠B=∠C．

方法3 還可以作中線AD，然后通過SSS來證明△ABD≌△ACD，從而得到∠B=∠C．

量一量、說一說、看一看，都只是一種淺層次的活動表達，是對性質的初步感知．要想讓猜想從合理性走向嚴密性，將學生的數(shù)學思維由直觀感知引向嚴密的邏輯說理，還需要進行推理與證明．

在問題5中，我們要及時追問：如何構造兩個三角形全等？如何添作輔助線？還能怎么添？通過追問，讓學生體會不同的證明方法，并梳理方法之間的內在關聯(lián)，讓學生在交流中總結與提煉：三種證明方法中的輔助線圖形一致，但意義不同．進一步體會等腰三角形的軸對稱性，知道底邊高線或底邊中線或頂角平分線所在直線是對稱軸，從而歸納出等腰三角形的兩個性質：“等邊對等角”和“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”．

幾何的學習要處理好“三觀”問題，這“三觀”是圖形觀、推理觀、表達觀．圖形觀指向直觀想象素養(yǎng)，就是要培養(yǎng)學生識圖、用圖、畫圖的能力和水平；推理觀指向邏輯推理素養(yǎng)，要求學生能夠區(qū)分合情推理和演繹推理，并且能夠正確、規(guī)范地表達推理過程；表達觀指向學習品質，這也是數(shù)學交流能力的顯性化，是對學生數(shù)學學習中的讀、寫、畫、說、證等各個方面的要求．課堂教學中如何規(guī)范地表達“等腰三角形的性質”的推理過程呢？從表象上看，這是通過符號語言將學生說理的過程記錄下來；從深層次上看，這其實是在呈現(xiàn)性質的由來及其推理的依據(jù)，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和分析問題與解決問題的能力．幾何學習要重視符號語言的教學，因為符號是進行數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要工具．為了克服學生“會說不會寫，想寫寫不對”的尷尬現(xiàn)狀，我們既要解讀清楚文字語言、圖形語言及符號語言的各自指向及相互轉換，更要教會學生用符號語言表達性質的推理過程．數(shù)學語言是進行數(shù)學思維與交流的工具，三種數(shù)學語言的轉換，既能培養(yǎng)學生符號意識，也有利于學生在解題中規(guī)范答題格式．

數(shù)學交流是學生運用數(shù)學語言表達概念、定理、方法、問題、思想等，并以此來傳遞信息與情感，交流媒介是數(shù)學語言，對象包括數(shù)學知識、問題解決策略、數(shù)學情感等[4]．上文中提到的“看、做、說、寫”只是課內外師生之間、生生之間用書面、口頭形式進行合理推斷、表達數(shù)學觀點的最常用、最基礎的交流方式，只是數(shù)學交流的部分外顯特征．《課標2011》在闡述能力培養(yǎng)時指出：“要隨著學生對基礎知識的理解的不斷加深，逐步提高對基本技能和能力的要求，培養(yǎng)學生獨立獲取新知識和正確使用數(shù)學語言進行數(shù)學交流的能力．”我們平時的數(shù)學課堂，應該多讓學生想一想、畫一畫、說一說、讀一讀、寫一寫、證一證，通過這樣最基礎的數(shù)學交流，學生從感知到認識，從認識到理解，從理解到應用，從應用到素養(yǎng)，為新的認知結構的建立提供根本的保證[5]．這對豐富學生活動經(jīng)驗，夯實學生知識基礎，加深學生幾何推理，培養(yǎng)學生交流能力都有著積極的意義．