現(xiàn)象教學(xué)視角下的任意角教學(xué)實錄與反思

孫四周 (江蘇省蘇州市吳江盛澤中學(xué) 215226)

1 教材和學(xué)情分析

1.1 教材分析

所用教材為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(必修4)》(蘇教版)，第1章“三角函數(shù)”第1節(jié)，是整個高中三角函數(shù)的起始課．任意角是對初中角概念的推廣，也是二維角的最終推廣，它是建立三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)．

若從知識教學(xué)的角度看，任意角在整個教材體系中不是重點內(nèi)容(因而極容易被學(xué)生輕視)．但從現(xiàn)象教學(xué)的角度看，“任意角”在兩個方面極為體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一是知識推廣的原則(必要性和可行性)，二是現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化(數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模)．三角函數(shù)是用來描述周期現(xiàn)象的，而任意角在坐標(biāo)系內(nèi)的表示就已經(jīng)清晰地體現(xiàn)為周期現(xiàn)象．說到底，正因為角本身的周期性，才有了三角函數(shù)的周期性．基于這樣的分析，本節(jié)課有其特有的教育價值．

教學(xué)目標(biāo) (1)認(rèn)識角推廣的必要性和可行性、理解任意角的概念，會把角表示在坐標(biāo)系中；(2)給定任意的度數(shù)，會判斷角終邊的位置； (3)給定角終邊的位置，能寫出角度數(shù)的集合．

教學(xué)重點 角概念的推廣和在坐標(biāo)系內(nèi)的表示．

教學(xué)難點 同終邊的角的集合．

1.2 學(xué)情分析

學(xué)生來自四星級高中普通班，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好．習(xí)慣于情境教學(xué)，能配合老師活動，但主動探究能力、創(chuàng)新能力稍嫌不足．

2 教學(xué)過程

2.1 表象感知階段

師：在觀看體操和跳水比賽的時候，我們會聽到一些解說詞，比如“轉(zhuǎn)體720°”“轉(zhuǎn)體兩周半”．

說明此時并不播放體操或跳水的畫面，而是讓學(xué)生自己想象畫面．老師講話慢一點，給學(xué)生留出想象的時間．多數(shù)學(xué)生會邊想象邊用手比劃，老師鼓勵他們“精確比劃”.

師：“轉(zhuǎn)體兩周半”是多少度？

生：(借助于精確的比劃，利用“周角等于360°”進(jìn)行計算)900°．

師：你能在紙上畫出900°角嗎？

生：(有點不安)畫不出．

2.2 具體認(rèn)識階段

師：畫不出這個角，沒關(guān)系，我們從能畫出的角入手．現(xiàn)在，我們來畫下面的幾個角，請快一點：

60°,90°,135°,180°,210°．

說明畫前面4個角時，學(xué)生很得意，情緒高漲，迅速進(jìn)入了學(xué)習(xí)狀態(tài)．而在遇上210°的瞬間，一切都變了.

生：什么？210°？啥意思？從來沒聽說過啊——

師：是的，是要你們畫210°的角．

生：(經(jīng)過一番糾結(jié)，他們有了這樣的判斷：210°自然是比180°大的)應(yīng)當(dāng)是這個樣子(圖1、圖2)．

圖1 圖2

師：完全正確，數(shù)學(xué)家們就是這樣畫的．我們從來沒見過210°角，現(xiàn)在卻畫了出來，是怎么想到的？

生：說不出理由，憑感覺．

說明順著60°—90°—135°—180°的慣性，有些學(xué)生沒有糾結(jié)，直接就畫出了210°角．畫出來以后，就想對“自己的創(chuàng)造物”進(jìn)行邏輯上的確認(rèn)，“糾結(jié)”也是免不了的.

師：我們憑的是直覺，直覺是非常寶貴的，它是一切創(chuàng)造力的源泉．那么，你還能創(chuàng)造出270°嗎？

生：(太容易，隨手就畫出來了)

師：350°呢？(也容易)——390°呢？(超出360°，再次陷入糾結(jié))

(備注：此時還沒有給出“任意角”的定義．在沒有定義的情況下，學(xué)生能畫出390°嗎？事實是：在稍微的糾結(jié)以后他們還真畫出來了，糾結(jié)的程度比畫210°時小多了)

師：還能畫更大的角嗎？比如750°．

生：能(手在轉(zhuǎn)圈，比劃出750°，已經(jīng)沒有糾結(jié))．

師：可以畫出多大度數(shù)的角？

生：幾千度、幾萬度都可以．

師：角的度數(shù)可以是什么范圍？

生：從零到無窮大．

說明至此，“角”在他們眼里已經(jīng)沒有了限制．“沒有限制的角”和“任意角”，差的似乎僅僅是一個名詞而已．但不可以認(rèn)為學(xué)生的認(rèn)知已經(jīng)形成，他們目前還處在直覺階段，還需要嚴(yán)格的定義.

師：確實如此，從零到無窮大任意度數(shù)的角都可以畫出來．現(xiàn)在，我們可以畫出最開頭的那個900°角了．

說明此處留足時間，讓學(xué)生把900°的角準(zhǔn)確地畫出來．一是回應(yīng)他們感情上的需要，二是讓神經(jīng)松馳一下，以迎接新一輪的活動高潮.

2.3 意義抽象階段

師：回過頭來看我們畫的210°角，為什么你不說它是150°(即圖1和圖2中210°“旁邊”的部分)？

生：因為那個箭頭，要是沒有那個箭頭，可就不好說了．

師：有道理，不能丟掉箭頭．可是，我們忙活了半天，究竟什么是角呢？角的定義是什么？

生：(只能回顧初中的定義)從同一頂點出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的圖形．

師：這個定義能描述我們剛才所畫的210°和390°嗎？

生：不能，這個定義不能區(qū)分210°和150°，也不能區(qū)分390°和30°．

師：我們把角的范圍推廣到了任意正數(shù)，大大突破了原來角的范圍，原來的定義也不再適用了，看樣子應(yīng)當(dāng)改寫．怎樣改寫呢？

生：(嘗試……)

師生：一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫作角．起始位置的射線叫始邊，終止位置的射線叫終邊(板書)．

師：這個定義，能包容所有的角嗎？比如很大的角，十萬度的．

生：可以．因為終邊可以無限制旋轉(zhuǎn)下去，因此角的度數(shù)沒有限制．

師：那么，新的定義還包含原來的角嗎？推廣必須把原來的概念保持住．

生：原來的銳角、直角、鈍角都還在．也可以認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)得到的，就是旋轉(zhuǎn)不超過180°．

師：好的．一是繼續(xù)描述原來的現(xiàn)象，二是描述更多的新現(xiàn)象，這是數(shù)學(xué)推廣的兩個原則．問題是，我們把角推廣到任意大的度數(shù)，有意義嗎？生活中有那么大的角嗎？

生：有．直升機(jī)機(jī)翼的旋轉(zhuǎn)，還有大風(fēng)車、風(fēng)力發(fā)電機(jī)……

師：早上騎自行車來上學(xué)的同學(xué)，說說你的自行車輻條轉(zhuǎn)了多少度？

生：……

說明回歸生活實際，回歸對世界的認(rèn)識，也為新知識增加一個“錨點”.

師：確實如此．下面請大家再來畫一個角．聽好：-30°．

生：“負(fù)30°”？什么叫“負(fù)30°”？

師：你感覺呢？什么叫-30米你是知道的．

生：嗯，負(fù)數(shù)是對相反意義的量的描述．一定是有兩個相反的方向，規(guī)定一個方向為正，另一個就是負(fù)．(備注：老師耐心幫助，讓學(xué)生動手、動腦)

師：如果對問題看不清楚，我們就應(yīng)該回到角的定義．角是旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，旋轉(zhuǎn)的方向只有兩個——

生師：一個是順時針方向，一個是逆時針方向，正好是互為相反的兩個方向．

師：那么，規(guī)定誰為正方向誰為負(fù)方向呢？

生：(好像沒有標(biāo)準(zhǔn)可依)……

師：逆時針方向和順時針方向，規(guī)定哪個為正哪個為負(fù)，決定權(quán)在我們自己手里．

生：……

師：國際上通行的規(guī)定是：逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)．也就是說，這個(比劃逆時針箭頭)是——正；這個(比劃順時針箭頭)是——負(fù)．(學(xué)生跟隨比劃正負(fù)角)．

師：這樣一來，-30°是不是就可以畫出來了？

生：(畫-30°)

師：再畫一個-150°,-400°．

生：(畫角)

師：負(fù)角的度數(shù)可以到多少度？

生：可以到-∞．

師：到目前為止，角的度數(shù)是什么范圍？

生：從-∞到+∞．

(其實還缺少零角)

師：確定嗎？

生：(思考……)

師：在上面的過程：角的度數(shù)可以取到所有正數(shù)，也可以取到所有負(fù)數(shù)．那么——

生：還少一個零度．

師：對，現(xiàn)在還沒有零度角．你希望有嗎？如果有，它該是什么樣的？

生：(畫圖，思考……)．

師：(提示)還是從定義開始吧．

說明回到定義，這是邏輯思維的一條重要法則，要有這樣的素養(yǎng).

師生：如果射線沒有經(jīng)過任何旋轉(zhuǎn)，我們就把它看成零角(板書)．這是人為規(guī)定．

師：如此說來，角的度數(shù)可以是任意實數(shù)，包括正數(shù)、零、負(fù)數(shù)．每一個角都有一個度數(shù)，每一個度數(shù)也都可以畫出一個角．

(至此，“任意角”的概念已經(jīng)建立)

2.4 形式表達(dá)階段

師：簡直太好了，我們可以有任意大小的角．現(xiàn)在，請你畫一個100 000°(十萬度)的角．

生：(開始興致很高，以為勝券在握，可動起手來才知道很難：要轉(zhuǎn)的圈數(shù)太多了……)

師：我們先來預(yù)估一下，畫出來的結(jié)果應(yīng)該是圖3中的哪一個？

圖3 圖4

說明圖3不是精確作圖，只畫了始邊和終邊，那是為了把學(xué)生注意力引導(dǎo)到“終邊”上，而忽略中間轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．如果學(xué)生能體會到“可以扔掉360°”，那就抽象成功了；如果領(lǐng)會不到，這種圖形也可以幫助老師講解．圖3中這些圖形本身就是抽象的，圖4中那個才是具體的.

師：畫始邊和終邊，我們可以——(齊)忽略360°．不管多少個360°，都不影響終邊位置．因此我們應(yīng)該干什么呢？

生：(活動)……

師：100 000°=277×360°+280°，相當(dāng)于——(齊)：轉(zhuǎn)過277圈以后繼續(xù)轉(zhuǎn)280°，于是100 000°的終邊和280°的終邊相同，因此應(yīng)該是圖3中的選項D．

師：為了便于研究和交流，以后我們常以角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系．這樣，角的終邊(除頂點外)在第幾象限,就說這個角是第幾象限角．

說明教這種人為規(guī)定的知識，采用告知的方法，不安排探究.

練習(xí)(口答)：下面的角分別是第幾象限角？是否有終邊相同的角？

-300°,-150°,-60°,60°,210°,300°,420°．

思考：銳角是第一象限角．反之，第一象限角是銳角，對嗎？(答案：不對)

師：一般地，角的度數(shù)增加或減少若干個360°，角的終邊——不變．因此，知道一個角α的終邊與β的終邊相同，這個角的度數(shù)并不能確定，而是可以有無數(shù)多個值，這些值構(gòu)成的集合是{β|β=k·360°+α,k∈Z}，這其實也給我們提供了一個判斷角終邊位置的方法．

2.5 應(yīng)用鞏固階段

例1在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：

(1)650°；(2)-150°；(3)-990°15′．

說明例題主要由學(xué)生完成，老師強(qiáng)調(diào)解題規(guī)范，比如k∈Z等.

2.6 回顧與反思，布置作業(yè)(略)

3 回顧與反思

3.1 設(shè)計理念[1]

這節(jié)課，定位不是讓學(xué)生學(xué)會“任意角的知識”而是讓他們“對任意角進(jìn)行刻畫”．把學(xué)生不認(rèn)識的角(實例)給他們，將其當(dāng)做現(xiàn)象去觀察、分析，最后生成了新知識、新模式，這就是基于現(xiàn)象的教學(xué)．如果是基于知識教學(xué)，則有相反的順序，它會把新知識給學(xué)生，再讓學(xué)生去理解知識、掌握知識、應(yīng)用知識直至(希望)綜合、創(chuàng)新．

對知識進(jìn)行探究，收獲的是知識；對現(xiàn)象進(jìn)行探究，收獲的是對世界的認(rèn)識．現(xiàn)象教學(xué)也收獲知識，但那僅是副產(chǎn)品，“主產(chǎn)品”是學(xué)生的探究意識和探究能力．知識容易忘記，但探究的意識和能力很難忘記，后者才構(gòu)成人的內(nèi)在素養(yǎng)，才是教育應(yīng)該給予學(xué)生的．愛因斯坦、米山國藏和懷特海分別說過幾乎相同的一句話：“教育就是當(dāng)你把在學(xué)校里學(xué)到的東西都忘記以后還剩下的部分”，現(xiàn)象教學(xué)比知識教學(xué)能“剩下”更多的東西．

3.2 教學(xué)方法[2]

(1)知識生成

經(jīng)過初中的學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦里有了0°—180°角，另外還有一個特殊的“大角”——周角(360°)．從知識上看，周角是最接近于“任意角”的，它似乎處于知識的最前沿．而實際上學(xué)生還沒有180°—360°之間角的概念，這段空白決定著學(xué)生對“周角”的認(rèn)識不是實在的，360°的意義只停留在“把圓周分成360等份，每一份叫1°角”．因此不能從周角出發(fā)引出任意角，我選擇用210°和390°作為切入點，來突破180°和360°．

(2)知識表達(dá)

在“同終邊角的表示”里，我沒有按照類似“390°—860°—4 000°—100 000°”這樣的順序“循序漸進(jìn)”，而是直接讓學(xué)生面對100 000°(十萬度)的角．這是基于這樣的考慮：學(xué)生在除法運(yùn)算上不是問題，除法也不是教學(xué)的關(guān)鍵，關(guān)鍵是讓學(xué)生“想到去做除法”，這個“念頭”才是核心．好念頭應(yīng)該讓學(xué)生自己產(chǎn)生，而不是告訴他們讓他們“學(xué)會”．100 000°，手工操作不現(xiàn)實，便只能去“想”(你可以說學(xué)生是“被老師設(shè)計”了，也可以說老師發(fā)揮了主導(dǎo)作用)．結(jié)果是他們“想”了，還從“想”中嘗到了甜頭，這種學(xué)習(xí)是快樂的．

十萬度雖然是具體的角度數(shù)，但這個角不能被直接感知，它幾乎等同于抽象角α．不同的是，α不能運(yùn)算(被360除)，十萬度卻是可以運(yùn)算的，這就是選擇十萬度的理由．當(dāng)然，如果選擇其他諸如5萬度、4萬度等數(shù)字，效果也一樣．在學(xué)生眼里這些“度”(數(shù))是具體的，但“角”(圖形)則不在可感知的范圍內(nèi)，它們具有半具體半抽象的特點．這類對象既便于實際操作又便于意義抽象和創(chuàng)立新模式，是設(shè)計現(xiàn)象教學(xué)的一項重要資源(因為到這里尋找最近發(fā)展區(qū)，一找一個準(zhǔn))．可資對比的是，400°就不具備這種特征，因為它太具體，用手轉(zhuǎn)一圈就到了，并不必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)抽象．

(3)核心素養(yǎng)

記住知識，算不得核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)是應(yīng)對真實世界的能力．“三個會”[3]：會觀察、會思考、會表達(dá)，賓語都是“世界”．但是我們只能看到“現(xiàn)象”，世界隱藏在現(xiàn)象的背后，于是現(xiàn)象就是我們可以研究的最實在的東西，現(xiàn)象教學(xué)的立足點就在這里．

現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化，觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于提升人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，選擇適合學(xué)生的“現(xiàn)象”就是老師必備的業(yè)務(wù)素養(yǎng)．本節(jié)課的后半段，100 000°被看成了現(xiàn)象，這在課的開始是不可想象的．這是基于發(fā)展的觀點，也是以學(xué)生為本的觀點．