用TI手持圖形計算器探究2021年全國新高考數學Ⅰ卷試題
——解析幾何專題

◎ 徐艷艷

解析幾何是高考重點考查的題型之一，也是學生比較難掌握的內容。學生在學習中主要面臨兩大困難，一是解題思路的匱乏，遇到問題往往不能抓住問題的實質，而圖形計算器可模擬演示解析幾何的變化過程，幫助學生開闊思路，抓住解決問題的關鍵；二是煩瑣的計算，特別是高考數學中的壓軸題，有了解題思路后往往又遇到了計算的困難，通過圖形計算器的計算功能可以輕松實現復雜計算，幫助學生初步建構編程思維，為以后信息技術的學習打下理論基礎。圖形計算器(主要運用TI-Nspire CX CAS圖形計算器)功能十分強大，比較常用的功能如代數計算、圖形繪制、統計分析等等。筆者認為，利用圖形計算器的以上功能可以更好地實現數學與信息技術的融合，讓學生體會問題處理的過程，提升學習能力。

一、數形結合，破解基礎題型

例1 (2021 年新高考全國Ⅰ卷.第5 題)已知F1，F2是橢圓C：=1的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為( )

解析：本題為基礎題型，主要考查橢圓的定義，使用圖形計算器的計算功能可按如下過程探究。

1.代數求解。圖形計算器具有強大的CAS運算功能，很多題目中煩瑣的計算都可以通過圖形計算器的計算功能實現，有些函數直接調出就可以使用，對于解析幾何中計算量較大的題目運用起來較為方便，本題計算并不復雜，具體操作過程如下。

S1 添加一個計算頁面，設點M到F1與F2設的距離分別為d1和d2。由橢圓的定義可知d1+d2=6。

S2 設d=d1·d2，并根據d1+d2=6進行換元。

S3 利用最大值函數fMax 求出當d1=3 時，d取得最大值，并求出此時最大值為9。

運算過程及顯示結果如圖1所示。

圖1

2.作圖探索，研究本質。圖形計算器在圓錐曲線圖像上的應用十分強大，可以使圖形動態化、形象化，在圖形的不斷變換中讓學生理解問題的本質，開闊學生解決問題的思路。具體操作過程如下。

S2 在橢圓上任選一個對象點M，連接MF1和MF2得到兩條線段。

S3 測量MF1和MF2兩條線段的長度，并使用文本計算得到MF1·MF2的數值大小。

S4 通過不斷拖動變換點M的位置，MF1·MF2的數值大小也在不斷變化，學生更直觀地感受到當MF1和MF2兩條線段的長度均為3時，取得最大值9。

演示過程如圖2所示

圖2

二、妙用圖形演示啟發解題思路

例2 (2021 年新高考全國Ⅰ卷.第11 題)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4，0)、B(0，2)，則( )

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當∠PBA最小時，|PB|=

D.當∠PBA最大時，|PB|=

解析：本題為多選題，主要考查圓上動點的距離問題，很多學生不理解為什么點P到直線AB的最大距離為圓心到直線的距離加半徑，而最小距離就是圓心到直線的距離減半徑？本題使用圖形計算器的圖形演示功能可直觀展示這一過程。同樣可用圖形計算器演示C、D 兩個選項為何當∠PBA最小時，PB與圓相切，而當∠PBA最大時，PB與圓也是相切的這一解題思路。具體操作過程如下。

S1 添加一個圖形頁面，繪制圓(x-5)2+(y-5)2=16 的圖像。

S2 在圓上選取對象點P并繪制直線AB。

S3 過點P做PD垂直于直線AB，并測量PD的長度。

S4 通過使點P在圓上不斷運動可直觀感受PD的長度的變化，進而得出結論。

演示過程如圖3，圖4所示。

圖3

圖4

C，D兩個選項的演示過程大致相同，通過測量∠PBA的大小，發現規律，即∠PBA取得最大與最小值的時候，均是PB與圓相切的時候，演示過程如圖5，圖6所示。

圖5

圖6

本文以2021 年全國新高考數學I 卷的兩道解析幾何題目為例，借助TI 圖形計算器解決了這些問題，雖然目前的高考數學模式并沒有將信息技術納入考查范圍，但是我們在平時的教學中給學生滲透一些信息技術手段可以有效地幫助學生理解一些復雜問題，簡化一些復雜計算，并幫助學生構建清晰的解題思路，培養他們思考問題的方式和方法。這對于高中數學教學是十分有益的。