高中數(shù)學教學中數(shù)形結合方法的有效應用

田娟

【摘要】在高中數(shù)學教學中，將方程問題轉化為圖形問題并進行處理，以便解決數(shù)學方程問題，這就是關于數(shù)形結合教學的核心方法.本文重點對高中數(shù)學教學中存在的問題進行探討，并重點對數(shù)形結合的應用方法、策略等進行了詳細的分析，以供高中數(shù)學教師參考.

【關鍵詞】高中數(shù)學;數(shù)形結合;應用方法;應用優(yōu)勢

一、引 言

“數(shù)”與“形”是高中數(shù)學中兩個最重要，最基礎的研究對象，兩者之間是相互對應的關系，在某種情況下能實現(xiàn)相互轉換.在數(shù)學解題中，運用數(shù)形結合能夠使抽象的問題變得更直觀化、簡便化，可以使學生的解題速度、解題準確率得到有效提升，還能增強學生的學習興趣.在高中數(shù)學教學中，一些教師由于過于關注概念、公式、定理方面的教學，從而忽視了教學方法的傳授，數(shù)形結合法在高中數(shù)學教學中貫串始終，其本質就是數(shù)學圖形與代數(shù)之間的轉換.數(shù)形結合法的有效使用可以讓復雜的問題變得簡單化，幫助學生節(jié)省做題時間，提高做題準確率.

二、數(shù)形結合法的概念與應用原則

眾所周知，數(shù)與形是高中數(shù)學中的兩個重要元素，前者代表數(shù)量關系，后者代表空間圖像，數(shù)量關系與圖形是可以自由轉化的，學生可以利用轉化關系來解決數(shù)學問題.數(shù)形結合法的應用本質就是將數(shù)學圖像與相關的數(shù)學語言相互轉化，實現(xiàn)形象思維與抽象思維的結合，從而提高學生的解題能力.

數(shù)形結合法的應用有兩個原則：

第一，雙向性原則.在利用圖形來解析題目時，學生必須要對代數(shù)的抽象性進行分析，與幾何語言相比，代數(shù)語言更加直觀、清晰，可以避免幾何解題法的約束.

第二，等價性原則.等價性原則主要強調幾何性質與代數(shù)性質轉化的等價性，由于用圖形解題具有局限，在作圖時，難以精確，就會影響解題的效率.因此，利用數(shù)形結合法解題，要重點關注等價性原則.

三、當前高中數(shù)學教學中存在的問題

（一）數(shù)學思維的局限性

相關研究發(fā)現(xiàn)，我國當前的高中數(shù)學教學中，學生對數(shù)形結合的理解并不透徹.受理解的局限性影響，學生在解題中很難去利用數(shù)形結合法解決實際問題.這種局限性主要體現(xiàn)在學生難以將抽象概念具體化或者是缺乏抽象思維能力.在數(shù)學學習中，大多數(shù)學生在審題過程中并不注重利用思維轉換模式來找準解題方向.

（二）數(shù)學思維的差異性

由于數(shù)學學習具有連貫性，使得很多學生的數(shù)學基礎存在比較大的差異.數(shù)學基礎的差異決定高中階段學生在面對同一問題時，有不同的思維方式和思維特點.因此，在高中數(shù)學教學中，教師需要對學生進行因材施教.

（三）存在較為嚴重的思維定式

進入高中階段后，學生的受教育時間一般也超過了九年，有很多學生形成了固定的思維模式（經(jīng)驗主義），使解題思路陷入僵化，影響學生解決數(shù)學問題.此外，在數(shù)學教學中，如果沒有破除這種固有的思維定式，那么數(shù)形結合的解題思路會與學生的思維定式產(chǎn)生碰撞，造成學生思維混亂，更加不利于提升學生解題的實際能力.

四、數(shù)形結合在高中數(shù)學教學中的應用方法

（一）將抽象的數(shù)量用圖形直觀地表現(xiàn)出來

數(shù)和形是一種相互依存，相互對應的關系，一些數(shù)量是比較抽象的，我們就可以在圖形中找出相對應的數(shù)量，然后利用圖形的直觀性來解決問題.學生能夠通過題干中給定的特定條件和圖形所隱含的特殊性質，找出其中的特定關系和結構，題目自然就由復雜變簡單了.在高中數(shù)學教學中將數(shù)量關系轉化為圖形問題比較常見，其中包含：平面幾何問題、函數(shù)問題、立體幾何問題等，對這些來說，首先要對問題題干進行分析，找出已知條件和隱含條件，再根據(jù)所求和已知條件進行比較，找出相互聯(lián)系的點，作出對應的結構圖，最后根據(jù)已知條件和所學的數(shù)理公式，利用圖形求證所得結果.

（二）充分發(fā)掘圖形所隱含的條件

圖像確實形象、直觀，但在一些復雜的圖像中，就會很難將圖像數(shù)字化，所以必須分析出圖形的特殊性質和隱含的條件，利用代數(shù)關系式將圖形數(shù)字化，把圖形正確表示成數(shù)字的形式，進行計算.

（三）將數(shù)量與圖形有效結合

數(shù)量與圖像有效結合，就是以數(shù)化形和以形變數(shù)的結合，在解決此類數(shù)學問題過程中，學生不僅要考慮如何將數(shù)值挪到圖形當中，而且要充分利用圖形的直觀性和其他性質，只有數(shù)形得到有效結合才能快速正確地解題.在高中數(shù)學教學中，數(shù)形結合主要體現(xiàn)在解析幾何中，解決這類難題，首先，學生要理解數(shù)形結合的數(shù)學思想;其次，學生要打好知識基礎，理解數(shù)學概念和運算的幾何意義以及圖形的特殊性質，并且能準確無誤地找到已知條件和目標之間的關系;再次，要能設計參數(shù)運用公式建立合適的數(shù)形關系體系;最后，根據(jù)已知條件給定的范圍和圖形的性質確定結果的取值范圍.

五、高中數(shù)學教學中數(shù)形結合方法的有效應用策略

（一）高中數(shù)學中常見的數(shù)形結合思想類型

1.數(shù)形結合的思想在集合中的應用

例 某班30人，其中15人喜愛象棋，10人喜愛圍棋，8人對這兩項活動都不喜愛，則既喜愛象棋又喜愛圍棋活動的人數(shù)為多少？

解 記30名學生組成的集合為U，喜愛象棋的學生全體為集合A，喜愛圍棋的學生全體為集合B.設兩項活動都喜歡的學生有x人，則只喜歡象棋的有（15-x）人，只喜歡圍棋的有（10-x）人.依題意，（15-x）+x+（10-x）+8=30，解得x=3，所以只喜歡象棋的有15-3=12（人）.

此題可以借助韋恩圖把數(shù)的問題轉化為圖形問題，利用圖形直觀地表現(xiàn)出數(shù)形結合的完美解題思想.

另外，集合問題是學生高中數(shù)學學習的重點，也是學習圖形的實例，韋恩圖正是圖形應用法的典例，能夠將復雜的集合關系展示出來.因此，在遇到類似的問題時，學生可以套用韋恩圖，通過建立坐標系來將圖形的各個要素具體形象地展現(xiàn)出來.

2.數(shù)形結合思想在函數(shù)中的應用