兩類雙曲有理函數的積分

馬鵬 楊立敏 陳文 于靜

【摘要】雙曲函數有非常廣泛的應用， 本文將從雙曲函數恒等式出發， 利用互導函數的性質給出一些新的求解雙曲有理函數的積分方法.

【關鍵詞】雙曲函數;積分

【基金項目】新疆維吾爾自治區本科教育教學研究和改革項目（JG2019023）和新疆維吾爾自治區《石油類高校以培養高層次應用型人才為目標的數學公共課程教學的實踐與探索》項目（2017JG095）

一、引 言

雙曲函數的起源是懸鏈線， 首先提出懸鏈線形狀問題的人是達·芬奇.他在繪制《抱銀貂的女人》時曾仔細思索女人脖子上的黑色項鏈的形狀， 遺憾的是他沒有得到答案就去世了. 時隔170 多年，約翰·伯努利卻解出了正確答案， 同一時期的萊布尼茨也正確地給出了懸鏈線的方程. 他們的方法都是利用微積分， 根據物理規律給出懸鏈線的二次微分方程，然后再求解. 18世紀， 約翰·蘭伯特開始研究這個函數， 首次將雙曲函數引入三角學. 19世紀中后期， 奧古斯都·德·摩根將圓三角學擴展到了雙曲線， 威廉·克利福德則使用雙曲角參數化單位雙曲線. 至此， 雙曲函數在數學上已經占有了舉足輕重的地位. 19世紀，復變函數開始了全面發展， 伴隨著歐拉公式的誕生， 雙曲函數與三角函數這兩類看起來截然不同的函數獲得了前所未有的統一[2]. 雙曲函數有非常廣泛的應用， 在描述彈性固體中波的運動， 散熱片中的溫度分布等問題時都可以用到雙曲函數， 反雙曲函數在積分學中也有很多的應用.

常用的雙曲函數恒等式都蘊藏在下圖的正六邊形中，具體如下：

（1）正六邊形任意三個相鄰頂點對應的雙曲函數中， 兩端雙曲函數之積等于中間三角函數，如

sinh xsech x=tanh x，?? tanh xcsch x=sech x，

sech xcoth x=csch x，csch xcosh x=coth x，

coth xsinh x=cosh x，?? cosh xtanh x=sinh x.

（2）陰影部分倒立三角形中上頂點處雙曲函數的逆時針平方差等于下頂點處雙曲函數的平方，如

cosh2x-sinh2x=1，? 1-tanh2x=sech2x，

coth2x-1=csch2x.

（3）正六邊形的三條對角線兩端點處雙曲函數互為倒數，如：

tanh xcoth x=1，? sinh xcsch x=1，?? cosh xsech x=1.

定義1[1] 設函數f（x）與g（x）均為可導函數，如果f′（x）=αg（x），且g′（x）=αf（x）或g′（x）=-αf（x）（α為任意常數），那么稱f（x）與g（x）為互導函數.如果f′（x）=αg（x），且g′（x）=-αf（x），那么稱f（x）與g（x）為相反互導函數，α為互導系數.

顯然，正弦函數y=sin x和余弦函數y=cos x為一對互導函數，同時，是一對相反互導函數. 雙曲正弦函數y=sinh x和雙曲余弦函數y=cosh x為一對互導函數.

二、利用互導函數的性質求雙曲有理函數的積分

定義1提出了自導函數及互導函數，考慮滿足方程y′=αy與y′=-αy的函數（α為任意常數），容易得到滿足上述微分方程的函數是指數函數eαx與e-αx.由eαx與e-αx構成的函數中，常見的是雙曲函數，本文將對雙曲有理函數的積分方法進行研究. 在此之前先來看一個例子：

∫11+2tan x dx.

對于這種問題，一般是通過“切割化弦”轉化為正、余弦函數的積分∫cos x2sin x+cos xd x，由于正、余弦函數為互導函數， 考慮如下等式：

cos x=A2sin x+cos x+B2sin x+cos x′=2A-Bsin x+A+2Bcos x.

由待定系數，可得2A-B=0，A+2B=1，也就是A=15，B=25， 即

∫11+2tan x dx=∫cos x2sin x+cos x dx

=15∫2sin x+cos x+22sin x+cos x′2sin x+cos x dx

=15∫2sin x+cos x2sin x+cos x dx+25∫2sin x+cos x′2sin x+cos x dx

=15x+25∫12sin x+cos x d2sin x+cos x

=15x+25ln2sin x+cos x+C?? （C為任意常數）.

上述方法充分考慮正、余弦函數的互導性質，我們把這種積分方法用到雙曲有理分式函數的積分當中，即考慮積分

∫λsinh x+μcosh xasinh x+bcosh x dx.

其中，a，b，λ，μ為任意常數且|a|≠|b|.

注意到（sinh x）′=cosh x，（cosh x）′=sinh x，考慮

λsinh x+μcosh x

=Mλsinh x+μcosh x+Nλsinh x+μcosh x′=aM+bNsinh x+（bM+aN）cosh x.? （1）

由待定系數，得

aM+bN=λ，bM+aN=μ，

容易得到 M=aλ-bμa2-b2，N=aμ-bλa2-b2，根據（1）式，有如下重要結論：

∫λsinh x+μcosh xasinh x+bcosh x dx

=aλ-bμa2-b2x+aμ-bλa2-b2lnasinh x+bcosh x+C? （C為任意常數）.?? （2）

32∫d4sinh x-2cosh x144sinh x-2cosh x2-（-2）=4∫dsinh x-2cosh x1-sinh x-2cosh x2+

6∫d4sinh x-2cosh x8+4sinh x-2cosh x2=4arctanhsinh x-2cosh x+

324∫d2sinh x-cosh x21+2sinh x-cosh x22=4arctanhsinh x-2cosh x+

324arctan2sinh x-cosh x2+C.

注2.2 如果b≠0，那么κ1=a， κ2=c是方程a-κc+κ=0的兩個根，ωi將無意義. 若考慮ac>0，則有

∫λsinh x+μcosh xasinh2x+2bsinh xcosh x+ccosh2x dx

=∫λsinh x+μcosh xasinh2x+ccosh2x dx

=λ∫sinh xasinh2x+ccosh2x dx+μ∫cosh xasinh2x+ccosh2x dx

=-λ∫sinh xa-（a+c）cosh2x dx+μ∫cosh xc+（a+c）sinh2x dx=-λa∫sinh x1-a+cacosh2x dx+μc∫cosh x1+a+ccsinh2x dx=-λaaa+c∫da+cacosh x1-a+cacosh x2 +

μcca+c∫da+ccsinh x1+a+ccsinh x2=-λaaa+carctanha+cacosh x+

μcca+carctana+ccsinh x+C.

其次，考慮不定積分

∫1asinh x+bn dx，

其中n∈N+，而a，b為任意常數且|a|≠|b|.

令In=∫1asinh x+bn dx，

考慮In-1=∫1asinh x+bn-1 dx，注意到

In-1=∫1asinh x+bn-1 dx

=1b∫asinh x+b-asinh xasinh x+bn-1 dx

=1bIn-2-ab∫dcosh xasinh x+bn-1=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1b∫a2cosh2xasinh x+bn dx=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1b∫a2+b2+asinh x+basinh x-basinh x+bn dx

=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1a2+b2bIn-

n-1b∫asinh x+b-2basinh x+bn-1 dx=1bIn-2-acosh xbasinh x+bn-1-

n-1a2+b2bIn-

n-1bIn-2+2n-1In-1，

移項得到In=∫1asinh x+bn dx的遞推公式

In=1n-1a2+b22n-3bIn-1-

n-2In-2acosh xasinh x+bn-1，

同理，得到Jn=∫1a+bcosh xn dx的遞推公式

Jn=1n-1a2+b22n-3aJn-1-

n-2Jn-2acosh xa+bcosh xn-1.

三、總 結

本文主要考慮三角函數與雙曲函數之間的關系， 給出了幾個雙曲有理函數的積分公式或遞推表達式， 豐富了積分的知識范圍.

【參考文獻】

[1]朱永銀，郭文秀，朱若霞.組合積分法[M].武漢：華中科技大學出版社，2002.

[2]A. P. 揚波爾斯基. 雙曲函數[M].邢富沖，譯.北京： 中央民族學院出版社，1987.