拉阿貝判別法的推廣及應(yīng)用

張文 沈啟 邱淑芳

【摘要】本文對正項(xiàng)級數(shù)的拉阿貝判別法進(jìn)行了推廣，并通過例題說明該方法具有更廣的適用性.

【關(guān)鍵詞】級數(shù);斂散性;拉阿貝判別法

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（11861007， 11761007）， 江西省教育廳科技項(xiàng)目（GJJ160564）， 江西省教學(xué)研究項(xiàng)目（JXJG-18-6-4）.

一、引言

級數(shù)的學(xué)習(xí)在理科《數(shù)學(xué)分析》或工科《高等數(shù)學(xué)》課程中都占據(jù)重要地位，判斷正項(xiàng)級數(shù)

∑∞n=1an的斂散性方法則為重中之重.常用的斂散性判別法為比較判別法、比式判別法、根式判別法、積分判別法和拉阿貝（Raabe）判別法等，由于比式判別法、根式判別法和拉阿貝判別法均有在臨界情況下失效的情形，于是我們想到在拉阿貝判別法的基礎(chǔ)上做出一些改進(jìn).

二、正項(xiàng)級數(shù)的比式判別法、根式判別法和拉阿貝判別法

定理1 （比式判別法和根式判別法）

對于正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1an（an>0），若limn→∞an+1an=r或者limn→∞nan=r，則：

（1）當(dāng)r<1時(shí)，級數(shù)∑∞n=1an收斂;

（2）當(dāng)r>1時(shí)，級數(shù)∑∞n=1an發(fā)散.

問題：當(dāng)r=1時(shí)，比式判別法和根式判別法均不能得出確切的斂散性結(jié)論，此時(shí)應(yīng)該如何判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性？我們再選用拉阿貝判別法進(jìn)行判別.

定理2 （拉阿貝判別法）

對于正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1an（an>0），若limn→∞ n1-an+1an=p，則：

（1）當(dāng)p>1時(shí)， 級數(shù)∑∞n=1an收斂;

（2）當(dāng)p<1時(shí)， 級數(shù)∑∞n=1an發(fā)散.

我們列舉經(jīng)典例題進(jìn)行討論.

例1 討論正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s，s∈N的斂散性.

解 由于該級數(shù)的斂散性受到參數(shù)s∈N的影響，所以我們令an=（2n-1）！！（2n）！！s，試著找出an+1an與s的關(guān)系.

易知

an+1an=2n+12n+2s=1-12n+2s，（1）

于是

limn→∞an+1an=limn→∞1-12n+2s=1，（2）

即正項(xiàng)級數(shù)的比式判別法失效. 根據(jù)拉阿貝判別法有

limn→∞ n1-an+1an=limn→∞ n1-1-12n+2s，（3）

上式為∞·0型的極限形式，轉(zhuǎn)化為00型后利用洛必達(dá)法則有

limn→∞ n1-an+1an=limn→∞1-1-12n+2s1n

=limn→∞-s1-12n+2s-112（n+1）2-1n2=s2，（4）

于是，根據(jù)拉阿貝判別法知：

當(dāng)s=1時(shí)，limn→∞ n1-an+1an=s2<1，正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s發(fā)散;

當(dāng)s≥3時(shí)，limn→∞ n1-an+1an=s2>1，正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！s收斂.

但是，當(dāng)s=2時(shí)，limn→∞ n1-an+1an=s2=1，拉阿貝判別法也失效了.于是我們尋求推廣的拉阿貝判別法來判斷正項(xiàng)級數(shù)∑∞n=1（2n-1）！！（2n）！！2的斂散性.

三、拉阿貝判別法的推廣

我們將拉阿貝判別法的適用范圍由正項(xiàng)級數(shù)推廣到一般項(xiàng)情形.

定理3 若limn→∞ n1-an+1an=p（an≠0），則級數(shù)∑∞n=1an：

（1）當(dāng)p>1時(shí)絕對收斂;

（2）當(dāng)0≤p<1時(shí)條件收斂或發(fā)散;

（3）當(dāng)p<0時(shí)發(fā)散.

證明 （1） 當(dāng)p>1時(shí)，N∈N+n>N滿足

n1-an+1an>p+12>1，（5）

即（n-1）|an|-n|an+1|>p+12-1|an|>0，（6）

于是正項(xiàng)數(shù)列{n|an+1|}∞n=N嚴(yán)格單調(diào)遞減，由單調(diào)有界定理知數(shù)列{n|an+1|}∞n=1收斂，進(jìn)一步便知正項(xiàng)級數(shù)

∑∞n=2（n-1）|an|-n|an+1|=|a2|-limn→∞n|an+1|（7）

也收斂，根據(jù)不等式（6）及比較判別法知：當(dāng)p>1時(shí)，級數(shù)∑∞n=1an絕對收斂.

（2） 當(dāng)0≤p<1時(shí)，N∈N+，n>N滿足

n1-an+1an

即（n-1）|an|-n|an+1|

于是

|an+1|≥（N-1）|aN|n.（10）

由比較判別法知：當(dāng)0≤p<1時(shí)，級數(shù)∑∞n=1an條件收斂或發(fā)散.

（3） 當(dāng)p<0時(shí)，N∈N+，n>N滿足

n1-an+1an

即0<|aN|<|an|<|an+1|，（12）

于是limn→∞ an≠0，由收斂級數(shù)必要條件知：當(dāng)p<0時(shí)，級數(shù)∑∞n=1an發(fā)散.

注：針對p=1的情形，定理1、定理2、定理3均不能給出確切的結(jié)論，即上述判別法均失效.下面的定理4為Kummer判別法的變形形式，可作為上述判別法的補(bǔ)充，為拉阿貝判別法的另一種推廣.

定理4 設(shè)Tn=un-un+1an+1an（an>0，un>0），則有：