空間解析幾何中對柱面方程的多角度分析

曹麗梅 葉豐

【摘要】解析幾何是高等院校數(shù)學專業(yè)開設的一門重要的專業(yè)基礎課程，是學習其他后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎.學生在學習過程中對于某個問題，容易局限于某個章節(jié)或某個知識點去思考，很難做到將相關的知識點按照內在的聯(lián)系放在一起，使它們系統(tǒng)化、整體化.本文通過從多種角度對一道解析幾何例題進行闡述、發(fā)掘和擴展，建立了知識點之間的內在聯(lián)系，把知識點融會貫通，融為一體，這樣做在培養(yǎng)了學生解題思維能力的同時構建了整體的知識結構.

【關鍵詞】知識結構;柱面方程;解析幾何

【基金項目】北京科技大學研究型示范課程建設項目（KC2017YJX20）

1 引? 言

解析幾何是高等學校數(shù)學專業(yè)本科生開設的核心基礎課程之一，是學習其他后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎.由于解析幾何是為大學數(shù)學專業(yè)本科生開設的課程，因此我們局限于具體、系統(tǒng)地講述解析幾何中經(jīng)典的直線、曲線和曲面理論.通過本課程的學習，學生能受到幾何直觀及邏輯推理等方面的訓練，擴大知識領域，提高空間想象能力，以及運用向量法與坐標法求解幾何問題的能力，并且能用解析方法研究幾何問題，為進一步學習其他課程打下基礎.此外，學生通過學習本課程能夠培養(yǎng)其直觀能力，運用分析、代數(shù)等工具來研究、解決幾何問題的能力，抽象思維能力，邏輯推理能力，空間想象能力和自學能力，以及熟練運算能力和綜合運用所學知識去分析和解決實際問題的能力.

高校大班制的教學活動使得數(shù)學老師始終處于主導的地位，這種教學活動容易導致一些弊端，比如學生一味地遵循老師上課的思路而缺乏自己的獨立思考過程，這樣會使得學生缺乏學習的主動性與創(chuàng)造性.為了提高教學效果，教師要特別注意教學的啟發(fā)性，并且需要對如何引導學生積極地參與到教學活動中給予高度的重視.教師采用啟發(fā)式的教學方法時，上課要調動學生學習興趣和主動性，以此啟發(fā)學生進行獨立思考，進而鍛煉學生邏輯思維能力，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力等.也就是在有限的時間內，凡是學生看得懂的要讓學生動眼去看，凡是學生講得出來的要讓學生動口去講，凡是學生想得出來的要讓學生動腦去想，凡是學生做得出來的要讓學生動手去做.這種啟發(fā)式的教學方法能夠使得學生的課堂地位主體化，讓學生真正更好地融入課堂，使學生的獨立思考能力、獨立解題能力得到提高等.

2 解析幾何重要知識點回顧

空間解析幾何是一門研究點、線、面及其內在聯(lián)系的學科，研究解析幾何的基本方法包括兩個方面，一方面是從圖形到方程，通過選擇合適的坐標系，建立圖形的方程;另一方面是從方程到圖形，通過對方程的研究得到圖形的性質，了解圖形的形狀.解析幾何的重要性在于通過建立坐標系，用方程表示曲線或曲面，從而通過研究代數(shù)方程來研究曲線或曲面.

在空間解析幾何中，我們主要研究的圖形為直線、平面、特殊曲面以及二次曲面.平面方程為三元一次方程，可由空間中一點與一個法向量唯一確定，也可由三個不共線的點唯一確定，這也就意味著平面方程有一般式方程、點法式方程、截距式方程、三點式方程等多種形式.空間直線可由空間中一點和一個方向向量唯一確定，也可由兩個相交平面相交所得，所以直線方程有標準方程和一般式方程等形式.以點、線、面為基礎，通過研究點、線、面的相關運動軌跡引出了特殊曲面與二次曲面方程.特殊曲面方程包括球面方程、直圓柱面方程和直圓錐面方程，其均由點集生成，球面由到空間中一定點距離為定長的點的軌跡所確定，是一個極其對稱的圖形，球面方程中不含交叉項，直圓柱面由空間中到一條定直線的距離為定長的點的軌跡所確定，直圓錐面由空間中到一條定直線上的一個定點的連線與該定直線的夾角為定角的點的軌跡所確定.柱面與錐面也可由曲線族生成.在二次曲面方程中主要研究橢球面方程、單葉雙曲面方程、雙葉雙曲面方程、橢圓拋物面方程和雙曲拋物面方程，該類方程主要通過二次曲面方程的二次項系數(shù)所確定，其中橢球面標準方程為x2a2+y2b2+z2c2=1，單葉雙曲面標準方程為x2a2+y2b2-z2c2=1，雙葉雙曲面標準方程為x2a2+y2b2-z2c2=-1，橢圓拋物面標準方程為x2a2+y2b2=2z，雙曲拋物面標準方程為x2a2-y2b2=2z.

我們除了從圖形的生成角度來研究圖形方程以外，還可以從直角坐標變換以及二次曲線和二次曲面的一般理論這兩個角度來研究.通過對直角坐標的變換，可以將復雜方程化歸為簡單的曲面標準方程，從而對所研究方程的形狀進行判斷.也可以通過運用二次曲線和二次曲面的一般理論，計算方程的不變量與半不變量，根據(jù)不變量與半不變量對所研究方程的形狀做出判斷.

3 應用實例

接下來，我們將從一道例題出發(fā)，充分發(fā)掘和擴展該例題，用啟發(fā)式教學方法從不同知識點出發(fā)對例題進行分析闡述.

例 證明方程：5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0表示的曲面S是一個柱面.

分析1 柱面是方向向量為v=（l，m，n）的直母線沿著空間曲線C（即柱面的準線）平行移動所形成的曲面.顯然，柱面上的準線不是唯一的.若上述方程表示一個柱面，我們首先從方程入手找到此柱面的一條準線C0，再以方向向量v=（l，m，n）的方向為直母線的方向，以C0為準線，建立柱面方程.假設已知方程為柱面方程，用待定系數(shù)法求解方向向量v=（l，m，n），若解存在，則證明了此方程為柱面方程.

證明1 用xOy面去截曲面S，此時的截痕C0為平面曲線，其方程為

C0：5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0，z=0，

可化簡為

C0：5x2+5y2-8xy+20x+20y-16=0，z=0.

下面建立以C0為準線，以v=（l，m，n）的方向為直母線方向的柱面S0的方程.設（x，y，z）為柱面S0上任意一點坐標，則過（x，y，z）的直母線與準線C0的交點設為（x0，y0，z0），且直母線方程為

x-x0l=y-y0m=z-z0n， （1）

由于（x0，y0，z0）在準線C0上，因此有

5x20+5y20-8x0y0+20x0+20y0-16=0，z0=0，（2）

由式（1）得x0=x-lnz，y0=y-mnz，代入（2）消掉（x0，y0，z0）得

5x-lnz2+5y-mnz2-8x-lnzy-mnz+20x-lnz+20y-mnz-16=0，

進一步整理可得

5x2+5y2+5l2n2+5m2n2-8lmn2z2-8xy-25ln-4mnxz

-25mn-4lnyz+20x+20y-20ln+mnz-16=0，（3）

式（3）為以C0為準線，以v=（l，m，n）的方向為直母線方向的柱面S0的方程.

柱面S0的方程與已給曲面S的方程進行比較，兩個都為三元二次方程，且x2，y2的系數(shù)相等.設兩方程表示同一曲面，用待定系數(shù)法可得5mn-4ln=1，ln+mn=2，因此有l(wèi)∶m∶n=1∶1∶1，即直母線方向是唯一的，則S0與S表示同一個柱面.

分析2 空間一柱面，經(jīng)過旋轉和平移后一定能使其直母線與坐標軸z軸平行.若此柱面方程為F（x，y，z）=0，則可通過空間直角坐標變換轉換為不含交叉項xy和變量z的柱面方程G（x，y）=0，受此啟發(fā)，本題的解題關鍵為如何尋找合適的空間直角坐標變換.

證明2 所給方程為三元二次方程，其二次項系數(shù)矩陣為

A0=5-4-1-45-1-1-12，

矩陣A0的特征值滿足|λI-A0|=0，解得λ1=0，λ2=3，λ3=9.進而可計算得λ1=0，λ2=3，λ3=9對應的單位特征向量分別為η1=131313，η2=1616-26，η3=12-120.

作空間直角坐標變換

xyz=1316121316-1213-260x′y′z′，

代入曲面方程S可得，

9z′2+3y′2+206y′-16=0，

進一步通過配方有

y′+10632+3z′2=72，

再進行平移變換

x″=x′，y″=y′+1063，z″=z′，

即可得y″2+3z″2=72，即表示一個柱面.

分析3 柱面由直母線平移形成，因此是直紋面.本題將從曲面方程本身出發(fā)，引入?yún)?shù)后構造出直線族方程，并證明該直線族平行于同一定方向的直線.

證明3 將方程5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0變形得

16x+16y-26z+10632=324-12x-12y2，

引入?yún)?shù)λ，可得曲面上的直線族

Lλ：16x+16y-26z+1063=3λ26-12x-12y.16x+16y-26z+1063=26+12x-12yλ，

可化簡為

Lλ：16+3λ2x+16-3λ2y-26z+1063-66λ=0，λ6-12x+λ6+12y-2λ6z+106λ3-26=0，

可得直線的方向向量為

v=（1，1，1），

所以Lλ是平行直線族，這說明曲面是由平行直線族Lλ生成的，所以曲面是柱面，且直母線的方向向量v=（l，m，n）=（1，1，1）.

分析4 曲面方程S為三元二次方程，因此可從二次曲面的一般理論出發(fā)，通過二次曲面的不變量與半不變量，分析判斷曲面類型.根據(jù)二次曲面的一般理論，若一個曲面方程滿足I3=I4=0，I2≠0，則該曲面為柱面.故本題的解題關鍵為論證題目中的曲面方程滿足I3=I4=0，I2≠0.

證明4 根據(jù)二次曲面的一般理論有，對于二次曲面的一般方程

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0，

有不變量，

I2=a11a12a12a22+a11a13a13a33+a22a23a23a33，

I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33，

I4=a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44，

若滿足I3=I4=0，I2≠0，則該曲面為柱面.

而本題中

I2=5-4-45+5-1-12+5-1-12=27≠0，

I3=5-4-1-45-1-1-12=0，

I4=5-4-110-45-110-1-12-201010-20-16=0，

故可判斷該曲面為柱面.

3 小 結

文中對例題從四種不同知識點出發(fā)，進行了分析.這四種解法看似差之千里，風馬牛不相及，實則萬變不離其宗——本質都是利用柱面方程的定義及其性質解題.證明1和證明3都是通過柱面由一條定準線與一個定方向確定這個定義入手進行解題的，證明2是通過任意一個柱面方程均可通過空間直角坐標變換化為不含交叉項的少一變量的三元二次方程為切入點進行解題的，證明4則需要了解二次曲面的一般理論，運用二次曲面的一般理論進行論證說明.本文啟發(fā)式的解題思路，可以加深學生對柱面方程的定義及二次曲面一般理論的理解，培養(yǎng)學生邏輯推理能力、獨立學習解題能力等.啟發(fā)式的教學方法不僅有助于發(fā)揮數(shù)學教師在教學工作中的主導地位，還有利于學生解答幾何問題時發(fā)揮主體地位，并有助于對學生各種思維能力的培養(yǎng).因此，教師應當在教學過程中注重數(shù)學思想的滲透，通過啟發(fā)式的教學模式促進數(shù)學教學課堂質量以及學生解題能力的有效提高.

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