“一題一課”，促進高階思維發展

李國良

【摘 要】數學是研究數量關系與空間形式的科學。在《倍的認識》單元復習中，以“倍”的本質屬性——關系為主線，采用“一題一課”的形式，梳理出單元的知識結構，在“一題”的變化中促進知識的生長，在多重表征、多維觀察、多型練習的復習路徑中，立體化呈現量與量之間的不同關系，從而促進學生思維的提升、能力的發展。

【關鍵詞】關系 一題一課 高階思維

一、課前慎思

所謂“一題一課”，一般是指一節課中對一道題或一個材料的深入研究，挖掘其內在的學習素材，科學有序地組織學生進行數學探究活動，以此達到多維的目標過程。教師在研究此題的過程中使學生在較高認知水平層次上進行心智活動，促進其高階思維的發展。數學復習課借助一課一題來展開教學，不僅能鞏固知識、強化技能，還能幫助學生對已學的知識進行有效的梳理，形成結構化的知識體系，從而促進學生進行大概念的學習。

《倍的認識》單元是人教版數學三年級上冊的內容，它涉及3個例題，分別是：例1——倍的含義，例2——求一個數是另一個數的幾倍，例3——求一個數的幾倍是多少。應該說，例1是本單元知識的“種子課”，通過建立和理解倍的概念來解決與倍有關的實際問題。筆者在翻閱人教版數學教材時發現，與倍相關的知識教材僅安排了求倍數、幾倍數和一倍數等比較簡單的、一步解決問題的題目，而到了五年級上冊《簡易方程》單元中出現了如：“地球的表面積為5.1億平方千米，其中，海洋面積約為陸地面積的2.4倍，地球上的海洋面積和陸地面積分別是多少億平方千米？”“果園里種著桃樹和杏樹，杏樹的棵數是桃樹的3倍，杏樹比桃樹多90棵，桃樹和杏樹各有多少棵？”等等這樣用“和倍或差倍”來解決的實際問題。我們認為，這與三、四年級的學習存在著一定的脫節現象，從大概念的視角來看，需要建構起從算術思維到代數思維的過渡，讓其能在原有認知基礎上得到發展。

二、巧設一題

采用“一題一課”形式來促進學生思維的發展，關鍵是對這“一題”的設計，它所呈現的是對知識“來龍去脈”的梳理，還有對知識“瞻前顧后”的把握。根據對教學內容的分析與教材的梳理，筆者以為，教師復習時可以進一步借助圈一圈、畫一畫等方法多維度鞏固倍的概念，在表征中發展學生的幾何直觀能力，幫助其理解從不同角度觀察來建構倍的意義，發展數學模型。一題設計如下：

學生在表征的過程中，不僅可以從部分與部分的角度分析，也可以從部分與整體的角度分析。部分與部分之間的倍數關系是教材研究倍的知識起點，部分與整體之間的倍數關系是和倍關系的知識起點，這樣，學生能從不同的角度立體化呈現倍的意義，為后續的用方程解決問題做準備，逐步建立起方程思想，最終形成一個立體網狀、動態關聯的系統。

三、實踐探索

數學復習課應具有面向全體學生又兼顧兩頭的差異教學理念，需建立起低起點進入、高思維出來的學習路徑。眾所周知，數學是研究數量關系與空間形式的科學，而倍是兩個量比較后產生的新的量，是學生學習相差關系后的一種新的關系，我們以“關系”為教學主題，針對“一題一課”的教學思路開展了實踐探索。

（一）多重表征，深刻理解倍的意義

課始，教師出示核心題目，組織學生涂一涂、圈一圈，再填一填，然后列出算式，要求學生能用兩種關系和兩種不同的方法來完成。學生根據自己的認知水平很快表征出不一樣的結果。

生1：涂色有2個，空白個數是涂色的3倍，6÷2=3;也可以說，涂色有2個，總個數是涂色的4倍，8÷2=4。

生2：涂色有1個，空白個數是涂色的7倍，7÷1=7;也可以說，涂色有1個，總個數是涂色的8倍，8÷1=8。

生3：涂色有4個，空白個數是涂色的1倍，4÷4=1;也可以說，涂色有4個，總個數是涂色的2倍，8÷4=2。

接著，教師讓學生一起討論生2的表征情況：算式中每個數表示的意思，并說說為什么有7倍和8倍的區別，讓學生明白標準量都是1個，比較量不一樣，它們之間的關系就不一樣，也就是倍數不一樣，使學生進一步懂得標準量相同時，可以從不同的角度來比較與觀察，從而得到不同的結果。

隨后，教師設疑：

師：剛才大家涂色時涂了1個、2個、4個，怎么沒有涂3個呢？

生4：因為涂3個，空白是5個，它們之間沒有倍數了。

生5：涂3個，總數8個，8不能除以3。

師（出示圖2）：其實，5個和3個、8個和3個之間有倍數關系，它們是1倍多一些和2倍多一些，只是現在還沒有學到這個知識點。

這一環節主要讓學生了解雖然兩個數之間除不盡，但它們之間仍然存在著倍數關系，為以后學習分數（小數）倍埋下伏筆。

隨即，教師針對生3的表征結果設問。

師：這里還可以找到不一樣的倍的關系嗎？

生6：空白有4個，涂色個數是空白的1倍，總個數是空白的2倍。

師：同樣是1倍，有不一樣嗎？

生7：剛才空白個數是涂色的1倍，標準量是涂色個數，現在涂色個數是空白的1倍，標準量是空白個數，雖然都是1倍，但標準量和比較量發生了變化，它們所表示的意義是不一樣的。

復習時，教師必須讓每個學生能從原有認知結構中迅速、正確地回憶起知識，促使其大腦興奮，從而能主動、高效地參與課堂。這一環節主要有三個部分，每部分環環相扣、層層遞進，不僅引導學生從部分與部分的角度去觀察它們之間的關系，而且給予解決問題的腳手架，引導其從部分與整體的角度去尋找它們的關系，更明確了：如果標準量與比較量發生變化，所表示倍的意義也隨之發生變化。當然，教師在教學中發現，學生容易表示出空白個數與涂色部分的倍數關系，而表示總個數與涂色部分的倍數關系時存在一定思維障礙。我們以為，這與教材的編排有一定的關系，這一單元中沒有安排“整體與部分之間的倍數關系”的相關例題或習題，可能造成教師在教學時有所疏忽。因此，從這個意義上說，基于關系的倍的復習是必要的。

（二）多維觀察，深刻理解量與量的關系

在第一環節的基礎上，逐漸梳理出完整的關系圖（如圖3），教師組織學生觀察左右兩列的異同點。有了上述基礎，學生在同桌交流的基礎上很快梳理出內在的關系。

生1：左邊都是空白部分與涂色部分之間的倍數關系，右邊是總數與涂色部分之間的倍數關系。

生2：它們的標準量是一樣的，都是涂色個數，而比較量是不一樣的。

生3：左邊與右邊橫著看，發現右邊比左邊的分別多1倍。

生4：右邊的比左邊的多1倍，這個1倍就是涂色部分本身的1倍。

師：通過比較可以清晰發現，左邊是部分量與部分量之間的關系，右邊是整體量與部分量之間的倍數關系，整體與部分量之間多的1倍就是標準量自身的1倍。

師：現在把其中一種關系變一下（如圖4），大家還能發現這里的倍數關系嗎？

生5：空白個數是涂色的3倍，算式是6÷2=3。

生6：總個數是涂色的4倍，算式是8÷2=4。

生7：空白個數比涂色多的個數是涂色的2倍，算式是（6-2）÷2=2。

師：這里的3倍、4倍、2倍分別表示什么意思呢？

…………

接著，教師組織學生觀察圖5中這三個圖示之間的區別。經過討論，學生一致認為前兩幅圖是部分與部分之間的倍數關系，第二個圖示的比較量是兩個量之間的差異量，第三個圖示是部分與總體之間的倍數關系，通過這一觀察、比較與分析，揭示了本節課核心主題是借助于倍的復習來研究數量之間的關系。

我們認為，這一教學環節中的亮點是把原始直紙條表征的方法轉變到更清楚的上下對比的表征方式，通過對直觀幾何圖形的不同角度觀察和變化，使部分與整體（部分）之間的關系更加清晰，為后續學習和倍關系、差倍關系，甚至是“比”等關系起到較好的鋪墊作用，在思維層次上也提升了一個臺階。

（三）多型練習，建構不同倍的模型

在進一步掌握倍的意義的基礎上，明確了量與量之間的倍數關系可以是部分與整體的關系，也可以是部分與部分的關系，甚至可以是部分與兩個量之間相差部分的關系。

隨即，教師出示三個不同類型的題目（如圖6），要求學生根據圖示的意義獨立編題，四人小組交流后集體反饋，讓學生能從自己的生活經驗入手，編制一些不同情境、不同類型的題目，使學生對倍的意義和關系理解更為深刻，從而建立起解決倍問題的數學模型。

筆者以為，三個題目類型不同、目標不同、層次不同，較好地體現了復習課面向全體又有差異的特征。第一題已知標準量和倍數，求比較量，指向于復習鞏固;第二題已知倍數關系和總數，求標準量，指向于用算術的思維解決和倍關系中的一倍數;第三題是已知比較量與標準量之間的差異量和倍數，求標準量，指向于用算術的思維解決差倍關系中的一倍數。這一環節是在“一題”的基礎上變化抽象而來的，更加符合數學的本質屬性，更有思維含量，更能促進高階思維的發展。

鄭毓信教授認為，數學基礎知識不應求全，而應求聯。我們巧設“一題”，構建起以“關系”為主題的倍的復習，對所學知識進行系統整理，著力做到知識的“聯”，厘清了倍知識的“前世今生”與后續走向，充分發揮了“一題”的功能，使知識“活”起來，讓思維“動”起來，令能力“長”起來，不斷發展學生的高階思維。