逆向思維在初中數學解題教學中的應用分析

陳燕

【摘 要】相比小學數學，初中數學的整體難度有了明顯提升。如果學生們仍然按照傳統思維進行解題，自然會遇到諸多困難。因此，教師就需要引導學生應用逆向思維，轉變思路，提升解題效率。本篇文章主要描述了在進行數學解題教學的過程中，引導學生應用逆向思維的具體方法，并通過相關案例展開說明。

【關鍵詞】逆向思維;初中數學;解題教學;應用;分析

對于逆向思維而言，主要是指將原有的常規思維完全顛倒過來，從已有思路出發，反向展開思考，尋找解題方案。數學題目本身有著很強的邏輯性，各個環節之間存在聯系。如果一直應用常規思路，在某些題目中就會受挫。因此就需要采取逆向思維的方式，提升解題效率。

一、從結論入手處理幾何題目

（一）基本概念分析

在對幾何題證明的時候，無論其復雜還是簡單，通常都需要從兩個方面入手。其一是從現有已知條件入手，經過推理之后，思考能夠獲得什么結論。其二是從待證結論入手，思考為了達成這一結論，具體需要哪些條件，而當前有哪些條件。如果發現有某個條件缺失，就能得出該條件就是需要從現有條件推算出的最終結論。

（二）具體案例分析

例如：“如下圖所示，已知在三角形ABC中，D和E都是AC邊上的點，AD和AB相等，BD平分∠EBC，試說明： AD2=AE·AC。”

為了能夠對AD2=AE·AC這一結論展開證明，需要從三角形的相似性入手。基于AD2=AE·AC，將其變為=。從題目中的基本條件可以得知AD和AB相等，因此可以將=直接轉變成=。從這個比例算式可以了解，為了完成證明，必須從三角形ABE和三角形ABC出發，對二者的相似性予以證明。這其中∠A屬于條件中這兩個三角形共有的角，參照相似性的判斷方式，并根據現有條件，僅僅只需要證明另一組對角完全相等就行。參照條件AD=AB，因此說明∠ABD和∠ADB完全相等，也就說明∠ABE+∠EBD和∠C+∠DBC完全相等。同時∠EBD和∠DBC一樣，可以推算出∠ABE等于∠C，繼而證明另外一對角是完全相等的。

根據以上分析能夠了解，在對幾何證明題處理的過程中，可以嘗試從結論方面入手。但在書寫的時候，可以從題目中提供的條件入手，推算出需要進行證明的結論。

二、依靠反證法處理幾何題目

處理幾何題目我們需要具體案例分析，例如：“在左下圖，已知點D和點E分別是AB和AC上面的點，同時BE和CD相交于O點。如果OB=OC，且AD=AE，試說明OD=OE。”

盡管該題目看似難度不大，若是選擇從正面入手進行處理，需要考慮的事情非常多，因此難度很大：先畫一個輔助圓，經過A、B、C三個點，之后再利用三角形特有的相似性，以此完成處理。但是，若從結論部分出發，依靠反證法的方式，難度就很低。

證明：假設OD和OE不相等。

其一，如果OD小于OE，在線段OE上進行截取，且OF和OD相等，并將DE、DF以及CF全部連接在一起，具體如右上圖。

基于圖像可以很容易證明，三角形BOD全等于三角形COF，從中得知∠BDO和∠CFO相等，同時∠CFO大于∠3，從中推斷出∠BDO大于∠3。

根據∠EDO>∠1，同時∠1和∠2相等，∠2比∠DEO小，得出結論是∠EDO比∠DEO大。

此時說明∠BDO+∠EDO>∠3+∠DEO，進而推出∠BDE>∠CED。

此外，∠BDE和∠ADE為互補關系，同時∠CDE和∠AED也是互補關系，說明∠ADE<∠AED，并得出AE小于AD。顯然，這一結果和題目條件AD和AE相等存在矛盾，所以該假設并不成立。

其二，如果OD大于OE，按照相同的方法，可以推斷出AD>AE，同樣和題目條件中AE和AD相等完全不符，因此該假設并不成立。

通過將以上兩個假設結合在一起，說明OD和OE完全相等。

通過應用反證法對幾何命題展開證明，先從不成立這一方面入手進行論證，通過已知條件、定理以及公理，說明該結果不成立，進而完成結論證明。

三、依靠順序倒換處理幾何題目

（一）基本概念分析

在進行數學題目思考的時候，很多學生往往會受到固定思維的影響，總是按照相同的步驟，完成解答。由于經過多次練習之后，自身思維模式已經定型，通常很難轉換。諸如在計量時，通常會選擇“從上到下”或者“從左到右”的順序。然而在處理數學題目的時候，如果可以打破固有順序，將其顛倒過來，進而能夠提升解答的實際效果。

（二）具體案例分析

例如：“小王同學的媽媽買了一些汽水。第一天，一家人一共喝了一半零半瓶;第二天，家里有客人來，大家喝了剩余的一半零半瓶;第三天，小王感覺很渴，又喝了剩余的一半零半瓶。經過三天，這些汽水都喝完了，那么媽媽最開始買了多少瓶？”

在處理該題目的時候，如果直接計算，由于涉及的數量關系較為復雜，自然難度較大。諸如列方程。假設最開始買的汽水一共是X瓶，第一天喝的數量為（+），第二天一共喝了[（x--）+]，第三天……。

但是如果選擇反過來思考，假設第三天在喝汽水之前，實際剩余了x瓶汽水，則-為0，通過計算得出x為1，這是第二天喝完之后，剩余的汽水數量。

之后再次假設，在第二天喝汽水之前，實際剩余了y瓶汽水，通過算式-=1，計算出y的數值是3，這是第一天喝完之后，剩余的汽水數量。

最后再次假設，在第一天喝汽水之前，實際剩余了z瓶汽水，通過算式-=3，得出z的數值是7，這就是媽媽實際購買的汽水數量。

盡管都是列方程進行計算，但通過將題目條件完成拆分，以最終結論作為基礎，逐步予以解答，實際難度就會有所降低。因此，反證法在面對此類題目時，效果非常好。

四、結束語

綜上所述，通過本文中提供的三個案例中發現，通過應用逆向思維，能夠有效完成解題。當然，在初中數學之中，可以應用的逆向思維仍然還有很多，諸如在整式乘法之中的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2就可以和因式分解中完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2相互轉換。二者原本就是同一個公式，但只是從不同的方向入手，互相成為了彼此的條件和結論。由此可以說明，在采用了逆向思想之后，不但效率非常高，而且還有著較高正確率。因此，未來學生們在面對數學題目時，不要盲目從正面入手，可以嘗試從反方向入手，以此解答。這樣一來，自身思維能力就會得到進一步增強，為其個人發展奠定了良好基礎。

【參考文獻】

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[3]付瑞艷.逆向思維在初中數學解題教學中的應用[J].數學大世界（小學一二年級版），2019，000（004）：71.