用Westergaard應力函數求解I-II復合型平面裂紋問題的研討

蔣玉川 蒲淳清

*(四川大學建筑與環境學院，成都610065)

?(四川眾恒建筑設計有限責任公司，成都610072)

在一般斷裂力學教材中，求解I–II復合型平面裂紋的方法有多種，常見的是疊加法，即先分別求解I型和II型裂紋問題，然后再將二者疊加得到原問題的解。也可以直接從I–II復合型裂紋入手，采用復變函數中的保角變換法，將裂紋問題變成無限大彈性體單連通的孔口問題，或者采用Fourier積分變換來求解[1-3]。無論是采用保角變換法或Fourier積分變換求解I–II復合型裂紋問題，其方法都較為復雜，推導過程冗長。另外，還可以采用Westergaard應力函數求解I–II復合型平面裂紋問題，即從Muskhelishvili應力函數與Westergaard應力函數的數理邏輯聯系入手構建求解 I–II復合型平面裂紋問題的Westergaard應力函數，但其過程繁瑣，不好理解[4]。為此，我們尋求一個更為簡單的Westergaard應力函數來求解I–II復合型平面裂紋問題，即以I型和II型的Westergaard應力函數為基礎，再加上一個調整項，作為I–II復合型平面裂紋問題的應力函數，該方法推導過程簡單，物理概念清晰，所得結果與一般斷裂力學教材和文獻中的結果一致。同時，應用疊加原理將裂紋面上有作用力的情形轉化為裂紋外邊界受力的情形[3]，給出了解決裂紋面上有作用力的I–II復合型平面裂紋問題的解題方法，在斷裂力學的教學中有一定參考意義。

1 基本問題與應力函數的選取

圖1所示為無限大平板處于平面應力的一般狀態，中心具有貫穿性裂紋2a，在x軸方向作用有均布拉應力p2，在y軸方向作用有均布拉應力p1，并沿平板四周有均布剪應力q的作用。試分析裂紋尖端區域附近的應力分布情況。

圖1

應力函數的選取，我們以I型和II型的Westergaard應力函數為基礎，再考慮x向和y向的不均勻性，選取實變函數的二次項進行調整，最后選取應力函數為

其中，f(z)為復變解析函數；為一次積分；為二次積分。

2 裂紋尖端區域的應力場

2.1 應力分量

所選應力函數相應的應力分量為

2.2 解析函數f(z)的表達式

根據問題的邊界條件，解析函數選取為f(z)=，再根據邊界條件確定應力函數式(1)中的各常數A，B，C的值。

(2)當x=0，y→∞，z→∞，f(z)=→p1，且由σy=p1，定出B=0，由τxy=q，定出A=-q/p1。

(3)當y=0，-a＜x＜a，即裂紋表面，則z=且有σy=0，τxy=0。

由此可見，在常數A=-q/p1，B=0，C=(p2-p1)/2時，解析函數選的形式，應力函數式(1)滿足圖1所示裂紋問題的邊界條件。

2.3 裂紋尖端區域附近的應力場

將上述各常數A，B，C的值代入式(2)，并如圖1所示，裂紋尖端區域的應力場用比較方便的新坐標ξ來描述，則應力分量

根據文獻[2]，將

代入式(3)得到用極坐標表示的應力分量

2.4 裂紋面上有作用力的情形

如圖2(a)所示無限大平板，并在兩端面受有均布拉應力p和四周受均布剪應力q的作用，由于板中不存在裂紋，所以應力強度因子等于零。我們現在在板的中心取一個長為2a，寬接近于零的脫離體，相當于在無裂紋無限大板(圖2(a))上開一裂紋，其邊界上受力應當與無窮遠處受力相同，如圖2(b)所示，由于脫離體寬度趨近于零，所以脫離體左右兩邊受力也趨于零。將圖2(b)上的作用力反作用在開的裂紋的邊界上，如圖2(c)所示，則圖2(a)與圖2(c)受力是等價的，或者說，圖2(c)外邊界上的力使裂紋開展，內邊界上的力使裂紋閉合，疊加起來在裂紋尖端附近區域產生的應力等于零，也就與圖2(a)等價了。

根據疊加原理，圖2(c)的受力又等價于圖2(d)和圖 2(e)的受力的疊加，而圖 2(e)的受力又等價于圖 2(f)的受力的反號。又由于圖 2(c)的受力等價于圖2(a)的受力，所以在裂紋尖端附近區域產生的應力等于零，則，圖 2(c)的受力等價于圖 2(d)的受力減去圖2(f)的受力并在裂紋尖端附近區域產生的應力等于零。因此，圖2(f)在裂紋尖端附近區域產生的應力等價于圖2(d)在裂紋尖端附近區域產生的應力，這樣就把裂紋表面的受力情形轉化為外邊界的受力情形，于是就可以按前面所述方法進行分析，即在式 (4)中令p1=p，p2=0，q/=0，相應于圖 2(d)的情形，也就是圖 2(f)的情況。由于，，因此，圖2(f)裂紋尖端附近區域的應力分量

式(5)與按Fourier積分變換求解的結果相同。

圖2

2.5 幾種特殊情況

(1)當p1=p2=p，q/=0，則應力分量為

式(6)與按保角變換解出來的結果相同。

(2)當p1=p2=p，q=0，且則應力分量

(3)當p1=p2=0，q/=0，且，，則應力分量

式(7)和式(8)的結果與文獻[2]的結果相同。

3 結論

本文簡述了用 Westergaard應力函數求解復合型平面裂紋問題的全過程，即將I型和II型的Westergaard應力函數直接相加，再加上二次實變函數作為調整項，以便滿足邊界條件，從而導出了裂紋尖端區域應力分量的表達式。該方法物理概念清晰，推導過程簡單，不失為分析I–II復合型平面裂紋問題的一個好方法。同時，應用疊加原理將裂紋面上有作用力的情形轉化為裂紋外邊界受力情形，給出了解決裂紋面上有作用力的I–II復合型平面裂紋問題的解題方法，本文在斷裂力學教學中有一定參考意義。