*《小問題》2020-3解答*

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2020-4如圖 1所示，三根質(zhì)量均為m、長(zhǎng)均為l的勻質(zhì)細(xì)桿鉸接后成一直線靜止于光滑水平面上，今在AB桿的質(zhì)心G處作用一垂直于桿的水平?jīng)_量I。試用沖擊問題的拉格朗日方程，(1)證明沖擊后AB桿、BC桿、CD桿的初始角速度之比為4:3:-1；(2)求沖擊后系統(tǒng)的動(dòng)能。(供稿：張孝祖，江蘇大學(xué))

圖1

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問題：如圖1所示，質(zhì)量為M的方塊以速度U與靜止的質(zhì)量為m的方塊相撞。然后質(zhì)量為m的方塊與側(cè)壁相撞，等等。整個(gè)過程完全彈性。求證：當(dāng)M/m?1時(shí)，總碰撞次數(shù)N與圓周率π之間有漸近關(guān)系式

(當(dāng)M/m=102k(k=1，2，···)時(shí)，計(jì)算表明，N就是π之小數(shù)點(diǎn)向后移k位所得之整數(shù)。)(問題及以下答案供稿：岳曾元)

圖1 初始狀態(tài)

證明：

將M與m的速度分別記為V1和V2。整個(gè)過程完全彈性，總動(dòng)能守恒，故有

令

得到用上標(biāo)′和′′表示碰撞前和碰撞后的量。對(duì)于m與M之間的碰撞，總動(dòng)量在碰撞前后不變

其無(wú)量綱形式為

對(duì)于m與側(cè)壁之間的碰撞，有

即

圖 2顯示了M/m=100時(shí)的整個(gè)碰撞過程。(ξ，η)從初始狀態(tài)(-1，0)開始，依次輪流進(jìn)行m與M之間和m與側(cè)壁之間的碰撞。每條斜線的上端和下端分別代表m與M之間碰撞的碰撞前和碰撞后狀態(tài)，每條鉛直線的下端和上端分別代表m與側(cè)壁之間碰撞的碰撞前和碰撞后狀態(tài)。所有斜線具有共同的斜率。斜線與鉛直線所夾銳角

在M/m→∞(ε→0)過程中，θ越來越小，鉛直線越來越密 (參見圖 3，其中M/m=10000)，相鄰鉛直線間的距離δ有漸近式

圖2

圖3

當(dāng)δ充分小，在滿足

的Δξ中包含的鉛直線根數(shù)為

因此，鉛直線總數(shù)為

令

得到

每根鉛直線代表兩次碰撞。因此，碰撞總數(shù)為

特別，當(dāng)M/m=102k(k=1，2，···)時(shí)，計(jì)算表明，N就是圓周率 π之小數(shù)點(diǎn)向后移k位所得之整數(shù)。