關于小變形假設的幾何與數學分析1)

李文娟 馮維明 王少偉

(山東大學土建與水利學院，濟南250061)

小變形概念是材料力學中非常重要的概念之一，涉及到幾何近似。材料力學中的眾多定義和演繹都是在小變形假設前提下完成的[1-3]。而利用小變形的概念建立變形幾何關系(或稱變形協調方程)是求解超靜定結構的關鍵所在，且引起許多高校任課教師的關注。常學平等[4]基于小變形假設對某超靜定結構采用不同的幾何分析來建立變形協調方程，并做了有益的比較。鄧宗白等[5]對不同的幾何分析中帶來的誤差進行了詳細分析，表明小變形假設的合理應用所產生的誤差是可以接受的。周道祥[6]和熊慧而等[7]提供了利用小變形假設對較為復雜的超靜定結構建立變形協調方程的方法。但鮮有文章考慮小變形假設的實質，如認識不清，有可能從看似合理的變形分析得出錯誤的結果，本文正是通過超靜定結構建立變形協調方程的過程中產生的誤區，分析了小變形概念的本質，即對高階無窮小量的理解，指出了在變形分析中應用小變形假設的條件。

1 問題的提出

在材料力學緒論中，小變形假設是這樣敘述的：“假設實際構件的變形以及由變形引起的位移與構件的原始尺寸相比甚為微小。這樣，在研究構件的平衡和運動時，仍可按構件的原始尺寸進行計算”[3]。在研究拉壓超靜定問題中，許多教材都會講到這個例題。

如圖 1(a)所示的三桿桁架為一次超靜定問題。設1和2兩桿的抗拉剛度為EA，桿3的抗拉剛度為E3A3；α，F和l均為已知，求三桿的軸力。

圖1 三桿桁架的受力圖和變形圖

設桿1，2和3的軸力分別為FN1，FN2和FN3(圖1(b))，討論節點A，由靜力平衡方程可得

靜力平衡方程不可能將三個未知力全部解出，還需一個補充方程。結構在力F的作用下節點A移動到A1點 (圖 1(c))，由于桿 1與桿 2長度和抗拉剛度完全相同，A1點應在CA的延長線上。連接BA1，DA1，線段BA1，DA1是桿1與桿2變形后的位置。以B為原點，BA為半徑畫弧交BA1于點E，設∠ABE=Δα。由于結構變形為小變形，Δα?1，可用BA1的垂線段AE來代替圓弧，Δl1，Δl3分別為桿1，桿3的近似變形量。設結構變形后桿1(或桿2)與桿3之間的夾角為α′，而α′=α-Δα≈α，因而有

式(2)兩次應用了近似條件：一是“以直代曲”[5]，二是α′≈α。根據物理關系得到補充方程為

聯立式(1)和式(3)，可以解得3個桿的內力分別為

從上述解的過程可以看到，建立變形協調條件關系式 (2)是求解超靜定問題的關鍵。下面我們用另外一套幾何關系來建立變形協調條件，由圖2

如前所述，考慮α′≈α，代入式(4)可得

圖2 三桿桁架的變形圖

由原始幾何關系：l1cosα=l3，代入式 (5)化簡后可得

比較式(2)和式(6)，發現這是兩個完全不同的變形協調方程，錯在哪里？

2 幾何分析

現在我們用數學中的幾何方法來分析一下式(4)。由圖2的幾何關系

由式(4)和式(7)可得

式(8)等式兩端平方并相加

注意由原始尺寸l1cosα=l3，展開并化簡可得

式 (9)即為變形協調方程的精確表達式。略去式中高階無窮小量 (Δl1)2和 (Δl3)2，再消掉式兩端l1，可得

式(10)與式(2)完全一致。另一方面也說明式(4)是正確的。現在判斷式(5)出現了問題，難道將α′≈α代入到式 (4)有錯嗎？答案是肯定的。究竟錯在哪里，僅憑式(5)難以說明。我們從式(4)進行分析，由三角形幾何關系(圖2)可得

將式(11)代入式(4)，得

式中，當 Δα足夠小時，cosΔα≈1，sinΔα≈Δα，式(12)變為

由原始幾何關系：l1cosα=l3，式(13)簡化為

由圖 1，弧長為lΔα，其近似垂線段為

1則有

略去式 (14)中的高階無窮小量 Δl1Δαsinα，并將式(15)代入可得

式(16)兩端同乘cosα，則有

式(17)與式(10)及式(2)完全一致。

比較式 (14)和式 (6)，發現式 (6)缺少了(l1+Δl1)Δαsinα項，這不是一個高階微量，是不能忽略的，說明式(4)到式(5)的近似是不正確的。

式(2)中兩次應用了近似條件，現從幾何變形上給出一個合理的解釋。由圖2

或

將α′=α-Δα代入式(18)，則有

展開可得

對于小變形問題，Δα?1時，cosΔα≈1，sinΔα≈Δα，式(19)簡化為

略去式 (20)中高階無窮小量 Δl1Δαcosα，式 (20)可寫成

即在兩項近似關系下所得到直角三角形，誤差僅為一高階無窮小量。

3 數學分析

這里我們從更嚴謹的數學分析來求證上述問題[8]。首先要證明 Δl1與 Δα是同階無窮小量。圖2中，令這是結構發生變形時唯一不變量，建立如下極限式

由洛必達法則

式(23)左端是常數，表明Δl1與Δα是同階無窮小量。由于α′=α-Δα，當使用近似等式α′≈α時，有可能忽略了同階小量，這是式(5)的錯誤所在。下面完全用數學分析中的極限定義建立Δα→0+時Δl1與Δl3的關系。

式(24)求解過程中應用了洛必達法則。由極限的性質，得到精確表達式

其中β為一無窮小量，略去。式 (25)兩端同乘以cosα，則有

4 總結

事實上，靜力平衡方程 (式 (1))是利用了小變形假設，即α′≈α，因為結構為桁架系統，各桿為直桿，以節點A為研究對象的平衡方程是利用了結構原始幾何關系而建立的。而其后的變形幾何關系式(2)也用到α′≈α，但不是小變形假設，而是小變形的近似幾何關系，筆者認為，近似幾何關系就是低階無窮小量與高階無窮小量之間的舍取問題 (深入考慮一下，小變形假設歸根結底也是此類問題)。很顯然，方程(2)是小變形間的幾何關系式，α′≈α的近似等式應該慎用。讀者可嘗試將等式α′=α-Δα代入式(2)中，展開并舍取高階無窮小項，仍可得到正確的變形協調方程，但對于式 (4)卻得到不同結果。為了避免上述錯誤，首先應理解“小變形假設”與幾何小變形近似的不同；其次建立力學問題的精確數學模型，在數學處理過程中合理使用 “小變形近似”。