理想彈性壓桿臨界撓度的確定

劉榮剛 邊文鳳 李素超 劉 偉 金松波

*(哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程系，山東威海264209)

?(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天科學(xué)與力學(xué)系，哈爾濱150001)

壓桿穩(wěn)定是材料力學(xué)課程中重要的基本內(nèi)容[1-2]。盡管人們對壓桿穩(wěn)定的研究與應(yīng)用已經(jīng)十分成熟，但是卻存在著一個長期爭議的問題，就是細長壓桿臨界力作用下的撓度能否確定的問題[3-7]。有文獻認為撓度的不確定源自在推導(dǎo)臨界力公式的時候使用的是撓曲線近似微分方程[2-3]，而如果使用精確的撓曲線微分方程[8]就可以確定撓度。但是這一觀點受到了諸多質(zhì)疑[5-7]。小變形假設(shè)是材料力學(xué)中的基本假設(shè)之一，在處理問題的時候具有足夠高的精度，并且理論本身也是完備的，因此撓曲線近似微分方程對于小變形情況是完全適用的，那么對問題的解答也應(yīng)該是完備的。也就是說，不會出現(xiàn)撓度不確定的問題。事實上，出現(xiàn)問題混亂的原因有兩條：(1)處理問題的時候邊界條件給的不夠合理；(2)臨界力的定義缺乏數(shù)學(xué)與力學(xué)的嚴格對應(yīng)。下面本文分別使用撓曲線近似微分方程方法和能量法給出較為嚴格的壓桿穩(wěn)定臨界力的定義。

1 撓曲線近似微分方程方法

考慮兩端鉸支細長壓桿 (見圖 1)，在微彎狀態(tài)下，撓曲線近似微分方程

其中k2=F/(EI)，EI為壓桿的抗彎剛度。微分方程的通解為

圖1 兩端鉸支細長壓桿受力示意圖

利用桿件兩端嚴格的邊界條件

我們可以得到壓桿的撓曲線方程為

其中δ是壓桿中點的撓度，微彎狀態(tài)下載荷F與水平位移Δ的關(guān)系為

式(5)即為小變形條件下，載荷F與水平位移Δ的一般關(guān)系式。注意這一狀態(tài)不是臨界狀態(tài)，對于理想彈性壓桿，如果逐漸減小載荷，微彎狀態(tài)可以完全退回到直線狀態(tài)，而這一直線狀態(tài)就是最合理的臨界狀態(tài)，所對應(yīng)的力就是臨界力。所以，臨界力的嚴格定義就是對式(5)取極限，即

此極限過程描寫了微彎狀態(tài)下的壓桿回歸到直線狀態(tài)，此狀態(tài)即為唯一的臨界狀態(tài)，所以臨界力作用下壓桿中點的撓度是完全確定的，也即等于0。

2 能量法

在小變形情況下，壓桿的撓曲線滿足式(4)，利用能量關(guān)系

可求出

另一方面，利用幾何關(guān)系

我們可以得到

其中

所以臨界力定義為

顯然，能量法給出的結(jié)果式(10)與采用撓曲線近似微分方程方法得到的式(5)完全一致，因此用式(6)和式(12)定義的壓桿臨界力是等價的。

下面我們對計算結(jié)果進行簡要的分析。從式(11)可以看出，在小變形情況下，Δ=π2δ2/(4l)，即水平位移Δ是壓桿中點撓度δ的二階小量。再由式(5)或式(10)可知，在小變形情況下，隨著桿件中點撓度δ的微幅增加，載荷F的大小幾乎不發(fā)生變化。因此，考慮水平位移Δ的邊界條件，與傳統(tǒng)材料力學(xué)教材[1]中不考慮Δ的邊界條件，對臨界力的表述幾乎沒有差別。但是如果不考慮水平位移Δ的邊界條件，將導(dǎo)致臨界力的定義不夠嚴格和清晰，并且會導(dǎo)致臨界力作用下壓桿中點撓度不確定問題。

應(yīng)該指出，在小變形條件下，材料力學(xué)形成了一整套嚴整的理論體系，并且在理論的推導(dǎo)和計算中，一些小量完全可以忽略。然而壓桿穩(wěn)定問題，在材料力學(xué)中可以說是一個特有的現(xiàn)象，只有在考慮水平位移Δ的邊界條件下，通過極限過程才可以得到臨界力的嚴格定義，并且可以解決長期爭議的壓桿中點撓度的不確定問題[3-7]。

通過以上的計算和討論，我們可以對理想彈性細長壓桿的穩(wěn)定性做如下定義：當載荷F＞Fcr時，在無擾動的情況下，壓桿可以處于直線平衡狀態(tài)，在有擾動的情況下，壓桿將處于微彎的曲線平衡狀態(tài)，并且撤去干擾后桿件無法恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿此時處于的狀態(tài)稱為失穩(wěn)狀態(tài)；當載荷F＜Fcr時，在擾動作用下壓桿發(fā)生微彎，撤去干擾后，桿件仍然可以恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)，壓桿此時處于的狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)；當載荷F=Fcr時，壓桿處于的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。需要指出的是，此處壓桿穩(wěn)定性的定義基礎(chǔ)源自上文嚴格的極限狀態(tài)分析，從而保證了壓桿穩(wěn)定理論對問題描述的完備性。

3 結(jié)論

本文從當前細長壓桿穩(wěn)定存在的爭議問題展開討論，指出壓桿中點撓度δ的不確定源自于兩點：一是失穩(wěn)的定義不夠準確；二是邊界條件給的比較粗糙。分析結(jié)果表明，對于小變形的理想彈性細長壓桿，載荷F與壓桿中點撓度δ存在一一映射的對應(yīng)關(guān)系。當載荷F＞Fcr時，如果理想彈性細長壓桿處于微彎狀態(tài)，此時若將載荷逐漸減小，壓桿可以逐漸恢復(fù)到臨界力Fcr對應(yīng)的直線狀態(tài)，因此臨界力作用下壓桿中點的撓度等于0。在此基礎(chǔ)上，本文給出了壓桿臨界失穩(wěn)載荷的嚴格定義，并重新定義了臨界狀態(tài)，得到了自洽和完備的壓桿穩(wěn)定理論。