靜定結構受力分析中約束力換算公式與二力桿的妙用1)

汪 珍 舒開鷗

(九江學院建筑工程與規劃學院，江西九江332005)

在力學教學中，靜定結構的受力分析這一內容由于較為簡單而通常忽視了計算的簡化與分析方法的研究。靜定結構的受力特征是，未知力 (約束力)的個數等于獨立平衡方程的個數，即僅通過平衡方程就能求解所有未知力，因此在教學時，教師往往重點在于教學生列出足夠的平衡方程，而忽視了對這些平衡方程求解的難易程度分析。當未知力較多時，最理想的情形是一個方程求解一個未知力，這樣就能避免聯立方程解方程組的麻煩。相關文獻[1-2]已經指出，對于滿足兩剛片規則或三剛片規則的簡單靜定結構，用平衡方程進行受力分析時，必可做到一個方程解一個未知力。本文將對這一結論做出簡單證明，并在此基礎上進一步提出能簡化計算的二力桿轉化思路及約束力換算公式。

1 平衡方程與幾何組成的關系

對于按兩剛片規則構成的靜定結構，由于連接兩剛片的三根鏈桿既不相互平行也不匯交，因此將這三根鏈桿截斷，取其中一剛片研究，即可逐一求出三鏈桿的受力(剛片的約束力)。

對于按三剛片規則構成的靜定結構，三剛片若用三個虛鉸 (實鉸的情形比虛鉸要簡單，故不再證明)兩兩連接，如圖1。求各鏈桿受力時，可以做到一個方程解一個未知力，證明過程如下。

圖1

為求出各鏈桿的受力，可先把鏈桿1～4截開，取剛片 I和 II組成的整體 (以下簡稱整體)，先將四個未知力分別向兩虛鉸A和B滑移，再向AB(x)方向與垂直AB(y)方向分解，如圖 2，由∑MB=0?FAy；再取剛片I，如圖3，這是一個含有三個既不相互平行又不匯交的未知力FAx、F5和F6的平面一般力系，可做到列一個方程解一個未知力；最后回到整體，只剩下FBx和FBy，顯然可逐一解出。若桿3與桿4平行，可將與F3垂直方向設為x方向，由 ∑Fx=0?FAx；若桿5與桿 6平行，在求出FAy(或FAx)后，研究剛片I，仍然是一個含有三個既不相互平行又不匯交的未知力FAx(或FAy)、F5和F6的平面一般力系。綜上所述，滿足三剛片規則的靜定結構，各鏈桿的受力計算可做到一個平衡方程解一個未知力。

圖2

圖3

在一個平衡方程解一個未知力的原則下，求簡單靜定結構的約束反力時，需要注意以下問題：(1)選取剛片I和II組成的整體研究與選取剛片III研究是等效的，同理選取剛片I研究與選取剛片II和III組成的整體研究也是等效的，視計算的難易程度靈活選取研究對象，但地面及含地面的整體不作為研究對象；(2)若連接剛片的鏈桿在兩結點以外部分上承受外力，可將外力向兩結點平移，并將附加力偶轉化為作用在結點上的一對等值反向的平行力，則鏈桿變為二力桿，具體做法見例1。

例1求圖4靜定結構中AB桿的約束反力。

解：(1)結構滿足兩剛片規則，AB桿與地面是兩剛片，其余三根鏈桿是聯系(約束)，將作用在三根鏈桿上的外力向端點平移，并將附加力偶轉化為一對作用于兩端點的等值反向的平行力，如圖5。

圖4

圖5

(2)研究AB桿，如圖6，易得三根鏈桿給其的約束反力，不再贅述。

圖6

2 約束力換算公式與二力桿的轉化

2.1 約束力換算公式

在圖2中，逐一求出的約束力FAx和FAy并不是各鏈桿1和2的軸力，為能方便地求出鏈桿的軸力，可采用約束力換算公式。如圖7，組成虛鉸A的鏈桿1和2的軸力F1和F2，與它們在虛鉸A處分別沿x和y方向的分量之和FAx及FAy，可用以下公式換算

圖7

例2求圖8靜定桁架中各桿的軸力。

圖8

解：(1)BD桿與地面由鏈桿AD與支座鏈桿B組成的虛鉸連接，剛片CEG與地面由鏈桿AE與支座鏈桿C組成虛鉸連接，BD桿與剛片CEG由鏈桿DE與鏈桿BG組成虛鉸連接，三個虛鉸不共線，故為靜定桁架。

(2)研究BD桿與剛片CEG組成的整體，如圖9。將FAD和FB向虛鉸O滑移并沿x(OC)和y方向分解后疊加得FOx和FOy，同理將FAE和FC轉化為FCx和FCy

圖9

(3)研究BD桿，如圖10

再由整體

圖10

(4)由約束力換算公式(1)可得鏈桿AD和AE的軸力及支座B和C的反力

其余各桿的軸力利用結點法很容易逐一求出。

2.2 二力桿的轉化思路

若某剛片用兩鉸(或虛鉸)與其他剛片連接，則此剛片可視為端點在兩鉸處的鏈桿(或虛鏈桿[3])，如圖2中的剛片Ⅰ。此時若該剛片上除兩鉸處的其他部分不受力，則可將其視作二力桿，如圖 11，剛片Ⅰ在虛鉸A處的約束力可合成為一個沿AC連線的力FAC，于是剛片Ⅰ和Ⅱ組成的整體僅有三個未知力FAC，F3及F4，可逐一求出F3和F4，再回到將剛片Ⅰ轉化為二力桿之前的受力圖，便可逐一求出F1和F2；若剛片I上除兩鉸處的其他部分受力，可參照例1先把這些力向兩鉸A和C處轉化，則剛片I變為二力桿。

圖11

例3求圖12靜定桁架中各桿的軸力[4-5]。

解：(1)剛片ADJI與CGJE用鉸J連接，剛片ADJI與地面用交于O點(虛鉸)的鏈桿BI和支座鏈桿A連接，剛片CGJE與地面用交于K點(虛鉸)的鏈桿BE和支座鏈桿C連接，點J，O和K不共線，滿足三剛片規則。

圖12

(2)截開鏈桿BI，BE取上部研究，作受力圖如圖13。

圖13

將剛片ADJI上作用于H點的力F向虛鉸O及鉸J轉化，把該剛片變為二力桿，則過O點各力可合成為力FOJ，如圖 14，列平衡方程求FBE和FC

再由圖13，列平衡方程計算FBI和FA

其余各桿的軸力利用結點法很容易逐一求出。例 2也可用此法計算，讀者可自行嘗試。

圖14

3 結語

本文對 “滿足兩剛片規則或三剛片規則的靜定結構的受力分析，必可做到一個方程解一個未知力”這一結論做出了簡明證明，并給出了利用這一結論進行受力分析的計算思路與注意要點。在此基礎上提出了方便計算鏈桿軸力的約束力換算公式及剛片轉化為二力桿的方法，使得靜定結構的受力分析得到進一步簡化。基于本文的研究成果，在結構力學教學甚至是理論力學教學中對于靜定結構或靜定問題，應提倡力爭做到一個平衡方程解一個未知力，其目的不僅是簡化計算，還能使學生更好掌握平衡方程及其應用技巧、更深刻認識結構幾何組成分析的意義及作用，從而達到夯實學生力學基礎、鍛煉學生思維能力等教學目標。