在思考中探索 在拓展中創新

丁素琴

[摘? 要] 解題能力的培養離不開科學有序的引導與拓展，這就要求教師在課堂教學過程中深挖教材所呈現的例題，通過思考、探究、拓展與創新等方式延伸知識點，訓練學生的思維能力與解題能力.

[關鍵詞] 解題能力;拓展;延伸

伽利略曾經說過：“科學是在思維角度的不斷變化中探索前進的. ”對數學教材中一些經典例題從多個角度進行革新與拓展，對學生的數學思維發展與解題能力的培養具有意想不到的效果. 正如宋代朱熹所言：“問渠那得清如許，為有源頭活水來. ”初中數學教學的源頭就是教材，通過對教材例題的探索與研究，將例題進行拓展與創新，可活化學生的思維，促進學生解題能力與綜合素養的提升.

讀題審題，弄清題意

審題是解題的根本，只有審清題意才能清楚題中所包含的條件，根據題目所呈現的內容分析與本題相關的公式、概念、法則、定理等，尤其是一些隱蔽的隱含條件，是審題的重點，這些隱含條件往往決定了解題的方向，因此決不能遺漏或自行添加任何條件，而應客觀地讀題、審題并加以分析，這是提高解題能力最基本的措施.

我們在讀題、審題時應做到“一看二讀三畫四思”，只有完整地遵循這四個步驟，才能徹底審清題意，避免各種奇葩錯誤的發生. “一看二讀三畫四思”主要是指：（1）看. 這是審題最簡單直接的方法，對于題中一些關鍵性的字、詞、句等可標上著重號，找出題中的顯性條件與隱含條件，堅決做到不漏看、不錯看任何條件，保證看清、看準題目. （2）讀. 只有逐字逐句地認真讀過去，才能保證不多出或漏掉任何有價值的信息，讀的過程具有補救看錯、看漏的重要作用. （3）畫. 數學文字一般偏抽象，光憑看和讀還不能完全理解一些關系，畫卻能將一些數據轉化成直觀的圖像符號，這也是突破解題思路的最佳方式，尤其是一些行程問題、幾何證明題等，畫能讓解題思路變得更加清晰. （4）思. 在完成以上三步之后，就需要快速、準確地挖掘大腦所儲存的信息，分析問題的本質和解決辦法.

不少學生在考試時失分在一些不可思議的地方，例如，題目要求選擇錯誤選項，他偏偏選擇正確選項;要求寫系數，他偏偏寫的是次數，等等. 究其主要原因就在于讀題、審題粗枝大葉，答非所問而導致漏洞百出，這也是學生之間拉開差距的主要原因之一. 因此，提高解題能力的首要因素是讀題、審題能力的培養.

以教材為本，拓展原題，開拓解題思維

加里寧認為：“數學是鍛煉思維的體操. ”解題能力主要體現在解題思維的靈活性與創造性，富有創造性的思維能激發學生的解題思路，促進學生解題能力的發展. 鑒于此，教師可在原題的基礎上進行拓展、延伸，以活躍學生的數學思維，拓展學生的解題思路. 筆者以執教過程中教材的一道題目為例，談談如何拓展原題，開闊學生的解題思路，提升解題能力的具體辦法.

1. 原題呈現

若一圓柱體底面的周長是20 cm，AB是該圓柱的高為4 cm，上底面的直徑為BC，若一只蝸牛以A點為起點沿著圓柱體側面進行爬行，一直爬到點C（見圖1），請問這只蝸牛所爬的最短路程是多少？

分析：蝸牛在圓柱體的半個側面爬行，若展開這半個側面（見圖2），可得矩形ABCD，依照兩點之間，線段最短的原理，最短路程應該是圖2中矩形對角線AC的距離.

？搖？搖解：如圖2所示，在Rt△ABC中，BC的長度是圓柱體底面周長的一半，即10? cm，根據勾股定理可得AC===≈10.77（cm）. 答：蝸牛所爬行的最短路程約為10.77 cm.

學生解決這個問題的難度系數并不大，只要審清題意，解題基本沒有問題. 教師為了拓展學生的解題思維，可在原題的基礎上進行拓展與延伸，深化學生對勾股定理的掌握與運用程度，提升學生對此類問題的解題能力.

2. 原題拓展

拓展1：原題條件不發生變化，把蝸牛爬行的路線從側面爬行到C點改為從表面爬行到C點，請問它所爬行的最短路程依然是矩形ABCD的對角線AC的長度嗎？

分析：蝸牛先是沿著母線AB爬行由點A爬到點B，而后沿著上底面的直徑由點B爬到點C，路程是4+≈10.37<10.77. 因此，最短距離不是AC的長度.

拓展2：把原題中的圓柱底面周長這個條件由20 cm改成16 cm，若蝸牛依然是沿著表面進行爬行，那么它所爬行的最短距離還是A→B→C這條路線嗎？

分析：根據題意得AC===≈8.94（cm）. 由點A到點B再到點C的長度為4+≈9.09（cm），此時AC的長度又明顯比A→B→C這條路線短.

不少學生在遇到拓展2的問題時，受拓展1的影響，省略掉了計算與分析環節，直接給出答案而出現了解題錯誤. 因此，教師應引導學生在解題時不能受思維定式的影響武斷地給出結論，而應經過分析、計算、對比等環節，讓客觀數據來判斷其距離的長短.

3. 探索研究

以上兩種爬行方法，哪種方法的爬行路程更短？（說明：以下探究比較的都是兩種爬行方法的最短路程）

假設h為圓柱體的高，r為圓柱體的底面半徑，蝸牛沿著側面爬行的路線AC的長度為l=;沿著表面爬行的路線A→B→C的長度l=h+2r，因此，l=h2+π2r2，l=h2+4hr+4r2，假設Δd=l-l.

探究1：如果高h是一個常數，那么Δd=（π2-4）r2-4hr. 此時，關于r的二次函數圖像與橫軸有兩個交點，分別為（0，0）和，0. 因為r>0，其函數圖像如圖3所示.

根據這個圖像可獲得以下結論：

①在r>時，Δd>0，l>l，即l>l，蝸牛沿著圓柱體表面爬行的路程比沿著側面爬行的路程短;

②在r=時，Δd=0，l=l，即l=l，蝸牛的兩種爬行路線的路程是一樣的;

③在0<r<時，Δd<0，l<l，即l<l，蝸牛沿著圓柱體側面爬行的路程比沿著表面爬行的路程短.

探究2：如果r是常數，Δd=-4rh+（π2r2-4r2），關于h的一次函數圖像與橫軸交于點，0，因為h>0，其函數圖像如圖4所示.

①在0<h<時，Δd>0，l>l，即l>l，蝸牛沿著圓柱體表面爬行的路程比沿著側面爬行的路程短;

②在h=時，Δd=0，l=l，即l=l，蝸牛沿著圓柱體表面和側面爬行的路程一樣;

③在h>時，Δd<0，l<l，即l<l，蝸牛沿著圓柱體側面爬行的路程較比沿著表面爬行的路程短.

此探究主要是實現數學的建模過程，通過對圓柱體表面展開所得的圖形，一次函數、二次函數的圖像與性質，以及勾股定理等知識點的探索，滲透了方程、函數、數形結合、分類討論等各種數學思想，經過對比分析，由淺入深地發展了學生的數學思維，幫助學生提高解題的靈活性，形成良好的探究力.

4. 延伸創新

延伸1：如圖5，正方體ABCD-EFGH的棱長是3 m，蝸牛從A點出發，若沿正方體的外表面爬行到G點的最短距離是多少米？

正方體ABCD-EFGH的表面展開圖如圖6所示：

從“兩點之間，線段最短”的規律出發，想求的最短路程就是正方體ABCD-EFGH表面展開后AG的長度. 其實，不論是路徑①的AG，或是路徑②的AG，或是路徑③的AG，以勾股定理為據，均等于==3（m）. 因此，蝸牛從正方體的A點出發，從外表面爬行到G點的最近路程為3m.

延伸2：如圖7所示，長方體ABCD-EFGH中AB的長度為3 m，高BF是2 m，寬BC是1 m. 蝸牛從長方體的頂點A點開始沿長方體的外表面向頂點G爬行，試求最短路程的距離.

如圖8所示，展開長方體ABCD-EFGH的表面后，根據“兩點之間，線段最短”的規律可知距離最短的路程就是矩形對角線AG的長度.

由勾股定理可得：①AG==（m）;②AG===3（m）;③AG===2（m）. 因為3<2<，所以蝸牛從A點爬到G點的最短路程是3m.

此延伸過程將圓柱體換成正方體與長方體，既直接運用了教材中所呈現的知識，又提升了學生的思維能力. 學生在一步步尋找最短路程的過程中，激發了求知的內驅力，有效地拓寬了學生解題的思路.？搖？搖

總之，解題能力的培養需要一個漫長的過程，任何能力的提升都非一朝一夕就能完成的. 教師只有靜下心來認真鉆研教材，挖掘例題的內涵，通過對例題的探究與延伸，讓學生從根本上理解問題的本質，達到做一題、通一類題的良好效果.