由不等式ex≥x+1產生聯想

安徽省太湖中學(246400) 李昭平 趙娟娟

恒成立不等式ex≥x+1(x ∈R)內涵豐富、結構精巧、應用廣泛，許多高考題都有它的影子.下面是筆者對其分析、思考和研究的結果，供參考.

1.對ex ≥x+1 的證明

證法1(圖象法)在同一坐標系下作出函數f(x)=ex和g(x)=x+1 的圖象，兩圖象均經過定點(0,1)，且f′(0)=1，即直線g(x)=x+1 是曲線f(x)=ex在定點(0,1)處的切線，因此ex≥x+1(x ∈R，當且僅當x=0 時等號成立).

證法2(導數法)令f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1.顯然f(x) 在(-∞,0) 內單減，在(0,+∞) 內單增，因此f(x)mⅰn=f(0).于是f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1(x ∈R)，當且僅當x=0 時等號成立.

2.對ex ≥x+1 的聯想

聯想1ex-x≥1，當x=0 時，(ex-x)mⅰn=1.

聯想2lnx≤x-1(x ＞0)，當且僅當x=1 時等號成立.

簡證在ex≥x+1 中，將x換為x-1 得，ex-1≥x，ln ex-1≥lnx，即lnx≤x-1(x ＞0)，當且僅當x=1 時等號成立.

聯想3

由lnx≤x-1(x ＞0)易得，略去簡證.

聯想4ex≥ex，當且僅當x=1 時等號成立.

簡證在ex≥x+1 中，將x換為x-1 得，ex-1≥x，ex-1·e≥ex，即ex≥ex，當且僅當x=1 時等號成立.

聯想5lnx≤當且僅當x=e時等號成立.

簡證在lnx≤x-1 中，將x換為當且僅當x=e時等號成立.

聯想6

簡證由ex≥x+1 得，ex -1 ≥x.當x ＞0 時，1;當x ＜0 時，

聯想7eg(x)-lnh(x)≥g(x)-h(x)+2.

簡 證由lnx≤x -1 得，lnh(x) ≤h(x)-1，即-lnh(x)≥-h(x)+1.

由ex≥x+1 得，eg(x)≥g(x)+1.

兩個不等式相加得，eg(x)-lnh(x) ≥g(x)- h(x) +2(h(x)＞0)，當且僅當g(x)=0 和h(x)=1 同時成立時，取等號.

3.ex ≥x+1 和幾個聯想的應用

上述不等式ex≥x+1 和7 個聯想的結構形式，在近些年來的高考和模考中常常出現.對于一些客觀題，若能靈活運用，可以大大提高解題速度;對于一些主觀題，有時能為解題提供思路和方向，有時又能切實解決問題.下面舉例說明.

3.1 運用ex ≥x+1

例1(2019 三亞市模考題)若對任意實數x ＞0，不等式tx+lnx+1 ≤xe3x恒成立，求實數t的取值范圍.

解析因為x ＞0，所以不等式tx+lnx+1 ≤xe3x恒成立等價于t≤即t≤而xe3x-lnx-1=elnx+3x-lnx-1.

由ex≥x+1(x ∈R) 知，elnx+3x≥lnx+3x+1，當且僅當lnx+3x=0 時等號成立，因此當且僅當lnx+3x=0(存在x)時取最小值3.于是t≤3，即實數t的取值范圍是(-∞,3].

說明本題是將不等式ex≥x+1(x ∈R)中的x換為lnx+3x.若換x為f(x)，則可以一般化為ef(x)≥f(x)+1，擴大了應用范圍……