數學通報2442問題的解法探究

廣東省深圳中學(518001) 邱際春

《數學通報》2018年8 月問題2442[1]摘錄如下:

問題2442已知a,b,c為正實數，且ab+bc+ca=1，試證明:

文[1]提出了一個簡潔優美的條件不等式，問題提供者安振平老師在《數學通報》2018年第9 期中利用不等式的性質進行放縮處理來證明.文[2]通過題設條件轉化成三角余弦不等式，然后借助嵌入不等式巧妙證明了這一問題.筆者根據不等式的結構特征，從不同視角探究得到另外的幾種證明方法.

視角一 利用代數性質進行證明

分析考慮到三元條件不等式，可借助條件代入消元，再通分轉化，結合配方法來解決.

證法1由條件等式ab+bc+ca=1，解出于是

故

最后一行的不等式顯然成立.當2ab -1=0,a=b，而ab+bc+ca=1，即a=b=時，等號成立.

視角二 借助三角函數的性質進行證明

分析注意到三元條件不等式與三角余切恒等式在形式上是一致的，可借助條件轉化成三角函數，利用其有界性來解決.

證法2令a=cotA,b=cotB,c=cotC，其中A+B+C=π，則由條件等式ab+bc+ca=1 可得，cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1，于是

評注若考慮令其中A+B+C=π.借助三角恒等式

及tanA+tanB+tanC=tanAtanCtanC，結合配方法即可證明之.

視角三 巧用不等式的性質和技巧證明

分析注意到三元條件不等式通分后分子分母是齊次的，故可嘗試運用不等式及拆項、添項技巧來化解.

證法3由條件等式ab+bc+ca=1，可得

等價于要證

由AM-GM 不等式可得

故a2b+ab2+b2c+a2c+4bc2+4ac2≥10abc.當a=b=2c，而ab+bc+ca=1，即a=b=時，等號成立.

視角四 構造拉格朗日函數進行證明

分析考慮到三元條件不等式的特征，可通過構造拉格朗日函數轉化為極值問題來處理.

證法4由條件等式ab+bc+ca=1，可得

故等價于要證:a+b+4c≥16abc.

令f(a,b,c)=a+b+4c-16abc，則拉格朗日函數為

其中……