借助伸縮變換 化圓解橢圓

廣東省廣州市第十六中學(510080) 溫伙其

設點P(x,y) 是平面上的任一點，在變換φ:的作用下，點P(x,y) 對應到點P′(x′,y′)，則稱φ為平面直角坐標系中的伸縮變換.在此變換下，有以下常用性質(zhì):

性質(zhì)1在φ的作用下，點仍然對應點，直線仍然對應直線，若一個點在直線上，變換后的對應點也在對應直線上.

性質(zhì)2在φ的作用下，兩條平行直線的像仍然平行，兩條相交直線像仍然相交，共點的直線的仍然是共點直線.

性質(zhì)3在φ的作用下，A,B兩點分別對應到A′,B′兩點，若直線AB的斜率為k，直線A′B′的斜率為k′，則

性質(zhì)4在φ的作用下，線段AB對應到線段A′B′，設它們的長度分別為|AB|,|A′B′|，則

性質(zhì)5在φ的作用下，不共線的三點A,B,C分別對應到不共線的三點A′,B′,C′，設ΔABC的面積為S，ΔA′B′C′的面積為S′，則

特別的，在φ的作用下，橢圓=1(a ＞b ＞0)變換為單位圓x′2+y′2=1.

根據(jù)上述伸縮變換的特殊性質(zhì)，我們可把橢圓變換為圓，則直線與橢圓的位置關系轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關系.而圓是我們相當熟悉的幾何圖形，具有較多特殊性質(zhì).在圓中研究圖形的特征和位置關系后再還原到橢圓中，從而得到橢圓的相應特征和位置關系，以此開辟研究橢圓問題的另一途徑，也可達到簡化計算的功能.下面通過高考真題闡述以上伸縮變換性質(zhì)的應用.

一、求斜率的應用

例1(2015年高考新課標Ⅱ卷理科第20 題(節(jié)選))已知橢圓C:9x2+y2=m2(m ＞0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

(Ⅱ)若l過點(,m)，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形? 若能，求此時l的斜率;若不能，說明理由.

解析令橢……