一類橢圓內(nèi)接三角形的幾個定值命題

廣州市鐵一中學(xué)(510600) 何重飛

廣州市廣東仲元中學(xué)(510000) ，嚴(yán)運華

熟知，若ΔABC是橢圓的一個內(nèi)接三角形，且原點O是ΔABC的重心，則ΔABC的面積為定值筆者研究發(fā)現(xiàn)，以橢圓中心為重心的橢圓內(nèi)接三角形有許多優(yōu)美的性質(zhì)，下面就這一類三角形的幾個定值命題與大家一起探討.

命題1橢圓上任意一點到以橢圓中心原點O為重心的橢圓內(nèi)接三角形的三個頂點的距離的平方和與該點到橢圓兩焦點距離的乘積的3 倍之和為定值

證明命題1，要利用如下兩個引理.

引理1若ΔABC是橢圓=1(a ＞b ＞0)的一個內(nèi)接三角形，且原點O是ΔABC的重心，則A,B,C三點的離心角分別為θ,θ+

證明依題意設(shè)A(acosθ1,bsⅰnθ1),B(acosθ2,bsⅰnθ2)，C(acosθ3,bsⅰnθ3)，則有

由 ①2+ ②2得cos(θ1-θ2)=同理可得cos(θ2-θ3)=故可設(shè)θ1=θ,θ2=θ+,θ3=引理得證.

引理2若ΔABC是橢圓=1(a ＞b ＞0)的一個內(nèi)接三角形，且原點O是ΔABC的重心，則AB2+BC2+CA2=

證明由引理 1 可設(shè) ΔABC的三點坐標(biāo)為A(acosθ,bsⅰnθ),則有

同理BC2=3a2sⅰn2θ+3b2cos2θ，CA2=又因為

圖1

命題 1 的證明如圖1，設(shè)ΔA1A2A3是橢圓的一個內(nèi)接三角形，且原點O是 ΔA1A2A3的重 心，ΔA1A2A3三條邊A2A3,A3A1,A1A2長度分別為a1,a2,a3，點P是橢圓C上的任意一點，D,E,F分別是邊A2A3,A3A1,A1A2的中點，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的左右焦點，記三條中線A1D,A2E,A3F的長度分別為m1,m2,m3，由中線長公式知

又因為

當(dāng)動點P在Ai(i=1,2,3)時，即可得到

推論若ΔA1A2A3是橢圓C:的一個內(nèi)接三角形，且原點O是ΔA1A2A3的重心，F(xiàn)1,F2分別是是橢圓C的左右焦點，則有

證明當(dāng)點P在A1上時，由命題1 知3A1F1·A1F2=同理，當(dāng)點P在A2和A3上時，

由命題1 及其證明過程亦可得到如下兩個命題.

命題2若ΔA1A2A3是橢圓0)的一個內(nèi)接三角形，且原點O是ΔA1A2A3的重心，點P是橢圓C上任意一點，F(xiàn)1,F2分別是是橢圓C的左右焦點，則有

證明如圖1，由極化恒等式知

同理由命題1 及其證明知

又……