例說高中數學多項選擇題的編制方法

嚴 鵬 (江蘇省鎮江崇實女子中學 212004)

尤 裕 (江蘇省梅村高級中學 214000)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在課程性質與基本理念一節中提到：把握數學本質，啟發思考，改進教學．在課程目標中指出學生必須獲得進一步學習及發展的“四基”，提高學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(“四能”)．江蘇省作為即將實施新高考的省份，數學試卷的命制將有新的調整，加入了多項選擇題這一新題型．

多項選擇題，又稱多選題，新高考中的多選題是一種正確選項數多于1個少于4個的選擇題題型.多選題典型的分值為5分，考生選出了一個或幾個正確答案，但沒有選出全部的，得2分；選錯一個得0分；全部選對得5分．多選題是選擇題的一種，解題時要認真審題，忌諱題目沒有讀清楚就開始埋頭苦算，結果不但浪費了大量的時間，還會被選項中的干擾項干擾導致做錯，結果事倍功半．因此，解題前一定要把題目讀透，理解題目的條件后迅速聯想涉及到的概念、公式、定理以及常見思想方法，發現題目中的隱含條件，理解題目的真正含義．另外，做選擇題特別要注意解題方法．選擇題和填空題、解答題不一樣，正確選項一定在給出的選項中，所以做題時除了按照解答題的思路直接來求解以外，也可以使用一些其他的方法，比如說特殊值檢驗、選項代入法、排除法、數形結合法，等等．

多項選擇題有效地考查了學生的“四能”．筆者認為，教師可以從以下幾個方面去考慮多選題的編制過程，從而進一步改進教學，促進學生“四能”的提高．

1 將單選題中選擇正確的選項，改成選錯誤的選項

這樣的編制題目是比較容易操作的，但是對學生的能力訓練不能達到預期目標．這類多選題本質上來說還是單選題．學生不能感受到該種題目作為多選題，與單選、填空之間的差異．

例1原題(2019全國Ⅰ卷理9) 記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知S4=0，a5=5，則( ).

A．an=2n-5 B．an=3n-10

改編 記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知S4=0，a5=5，則下列結論不成立的是( ).

A．an=2n-5 B．an=3n-10

這類問題可以用直接求解法求解．

2 將求范圍的題目，改成求具體值的多選題

例2原題(2017全國Ⅰ卷理5) 已知函數f(x)在(-∞，+∞)上單調遞減，且為奇函數．若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是( ).

A．[-2，2] B．[-1，1]

C．[0，4] D．[1，3]

改編 已知函數f(x)在(-∞，+∞)上單調遞減，且為奇函數．若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值可能是( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

原題是給出函數性質，通過不等式的計算得到變量的范圍．改編后變成滿足不等式條件的變量值有哪些符合題意．這類問題可以使用直觀分析法中的估值法來求解．

3 解題策略問題條件的選擇

本類題目的設置一般是立足于開放性條件的變化，一個問題給出不同的條件會有多種解法．例如解三角形中的問題．

例3原題 蘇教版必修5第14頁例1(2)；第 15頁例4；第 18頁例1；第 20頁練習4.

改編 (2020崇實女中高一期中考試)鎮江崇實女子中學的校園是非常美麗的．校園內，百年古樹相交映，草色遙看近卻無．走在學校的林蔭大道上，享受“沾衣欲濕杏花雨，吹面不寒楊柳風”的感覺．可是，細心的同學會發現，林蔭大道不是由直線構成的，而由兩條路寬一樣的道路拼接而成，有一個拐角．其中，第一段路面是和校門口所在直線垂直的，如圖1所示．抽象出數學模型如圖2所示，其中O，E為校門口左右兩點，A，C為道路銜接處兩點.

圖1

圖2

怎樣計算這個拐角OAB的角度或它的某個三角函數值呢？測量小組甲、乙、丙、丁四位同學給出了不同的測量方法，請問哪些同學給出的策略是能完成目標的？( ).

A．甲同學的策略：在第二段林蔭大道路邊任取一定點B，如圖2所示．沿校門口點O出發，勻速走完路程OA，AB，BO，分別記錄走完OA，AB，BO所用的時間t1，t2，t3．經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值．

B．乙同學的策略：用尺量出林蔭大道的路寬和拐角處的兩個點A，C間的距離．經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值．

C．丙同學的策略：用尺量出校門寬度，在校門E處測量出觀察點O和點B的視角OEB．經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值．

D．丁同學的策略：在第二段林蔭大道路邊任取一定點B．自己眼睛到地面的距離為1.6 m，站在校門口O處，測量出看點A的俯視角和看點B的俯視角．在門口點E處，再測量出看點A的俯視角和看點B的俯視角．量出校門的寬度，經過計算，就可以算出這個拐角OAB的余弦值．

這類問題的處理，可以使用推理分析法中的邏輯分析法和特征分析法．

4 開放性問題的研究

一般傳統數學題目答案唯一，而開放性數學題由于題目中的條件不夠完備，需要自己設定分類討論從而解出不止一解的答案．這類題目往往可以根據一個恒等式來隱藏部分條件進行編制．

A．10° B．120° C．210° D．370°

這類問題可以使用間接法中的逆推驗證法來處理．

5 題目本身就是多解

實際上，很多數學知識的產生都源于問題．有的題目本身就有多個解答結果，如求極值點問題．

例5函數3x5-5x3+1的極值點有( ).

A．-1 B．0 C．1 D．2

這類問題一般使用直接求解法解決．

6 概念的掌握和理解

學生對數學概念的掌握還需要通過運用，才能加深理解，真正成為自己的經驗．學生要識別應該用什么概念，區別相似而又不相同的概念．因此，運用數學概念解答問題，可以鞏固和加深對概念的理解，豐富對概念的本質特征的認識，培養學生對數學概念的選擇、判斷和聯系的能力．

例6下列求導運算正確的是( ).

A．(ln 2)′=0

B．(cosx)′=sinx

C．(x2sinx)′=2xsinx+x2cosx

這類問題可以使用直觀分析法或者間接法中的排除法來解決．

7 原題有多個結論

該類題型可以將結論修改成多項選擇題的選項．

例7原題(2019全國Ⅰ卷理11) 關于函數有下述四個結論：

①f(x)是偶函數

③f(x)在[-π，π]有4個零點

④f(x)的最大值為2

其中所有正確結論的編號是( ).

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

改編 關于函數f(x)=sin|x|+|sinx|，下列結論正確的是( ).

A.f(x)是偶函數

C.f(x)在[-π，π]有4個零點

D.f(x)的最大值為2

這類問題的解決，可以用直接法中的圖象法或者推理分析法中的邏輯分析法．

解決多項選擇題，不管用什么方法，能夠得出正確答案的方法都可以嘗試．做選擇題要利用好正確答案在四個選項中的特點，全方面分析，幫助學生快速找出答案．在對編制題目理解的基礎上，教師可以對多項選擇的教學活動做出更好的預案．