研讀新課標的變化 提高高三復習效率
——“空間幾何體的體積”一輪復習與反思

方立新 (江蘇省揚中市第二高級中學 212200)

1 學情分析

本節課教學對象是四星級高中的高三物生地組合普通班學生，有一定的自主學習能力、運算能力和運用知識解決問題的能力．

2 考點解讀

求幾何體的體積是立體幾何的重要內容之一，是綜合運用空間中點、線、面的位置關系，空間角和距離的數量關系等知識交匯點解決問題，培養空間想象能力、邏輯推理能力、綜合分析問題能力、數學運算能力等的重要載體，也是高考考查的熱點問題之一．

教學目標 (1)通過復習柱體、錐體、臺體及球的體積公式，學會用運動、變化、聯系的觀點分析理解空間幾何體體積公式中各個量之間的內在關系；(2)通過探究多種形式幾何體的體積，掌握解決空間幾何體體積計算的分析思路和常用方法，培養化歸與轉化的意識，逐步提高直觀想象素養，積累數學解題活動經驗．

教學重點 空間幾何體體積的計算．

教學難點 空間幾何體中高的確定．

3 過程實錄

3.1 基礎知識梳理

用導學案輔助教學，課前以表格填空的形式印發，由學生自主完成．

幾何體名稱體積公式柱體(棱柱、圓柱)錐體(棱錐、圓錐)臺體(棱臺、圓臺)球

師：同學們好！課前大家都已經完成了表格填空，請觀察這些公式有什么聯系？

學生對照幾何體示意圖(圖1)，討論發現：若將棱臺的上底面擴大成與下底面全等時，就是棱柱；若將棱臺的上底面縮成一點時，就是棱錐．同樣，若將圓臺的上底面擴大成與下底面一樣大小時，就是圓柱；若將圓臺的上底面縮成一點時，就是圓錐．

圖1

因此，在臺體體積計算公式中，若令S′=S，即得到柱體的體積計算公式；若令S′=0，即得到錐體的體積計算公式．

設計意圖通過表格填空和幾何體示意圖，喚醒學生的舊知，并通過運動、變化、聯系的觀點來理解、記憶幾何體體積的計算公式，發現它們之間內在的聯系．

3.2 典型例題講解

例1把長、寬分別為4和2的矩形卷成一個圓柱的側面，求這個圓柱的體積．

師：大家可以動手感受一下，拿出課前發的矩形紙(其長和寬分別為4和2)，將它卷成一個圓柱，可以怎么操作？其體積如何求解？

師：在動手操作中，我們發現有2種不同的情形，要進行分類討論．而這種直接利用體積計算公式求幾何體體積的方法稱之為公式法．

(教師板書“方法1：公式法”)

訓練1如圖2，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是cm3．

圖2

設計意圖讓學生在操作實踐中體驗解決問題的過程，并提煉解題方法，形成解題經驗，最后通過訓練題與例題形成題組，進一步加深對公式法的理解與應用．

例2如圖3，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是邊長為a的等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，F是AB的中點，EC與平面ABCD成30°．求三棱錐F-CDE的體積．

圖3

生3：三棱錐F-CDE的體積計算需要求得底面面積和高，其中△CDE的面積易求，但點F到面CDE的距離解決不了．

師：很好！生3利用轉化與化歸，通過“等體積性”進行變換，將不易于求高的三棱錐轉化成易于求高的三棱錐，這種方法稱為等積法．

(教師板書“方法2：等積法”)

師：等積法求三棱錐體積，適用于四棱錐、五棱錐等其他棱錐嗎？

(學生思考片刻)

生5：只適用于三棱錐，其他棱錐不行，因為換頂點后，其他頂點不共面．

師：所以等體積法一般適用于三棱錐，轉換時可以用任意一個面作為三棱錐的底面.實際解題時我們一般都選擇高和底面積容易求的來計算，這也是一般與特殊思想方法的體現．

師：(追問)再看例2，如何求點F到平面CDE的距離？

生6：由于三棱錐F-CDE與三棱錐E-CDF的體積相等，上一問已求出三棱錐F-CDE的體積，只要再求出△CDE的面積，即可根據體積計算公式求出點F到平面CDE的距離．

師：等積法不僅是我們計算三棱錐體積的一把利器，也是求點到面距離的又一重要方法，尤其是點到面的垂線不好作時，往往使用此法．

設計意圖通過追問，在本題基礎上再次讓學生思考，挖掘了等積法的另一功效，拓寬了例題的廣度，發揮出例題的最大功效．

訓練2如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a，E,F分別是棱AA1和CC1的中點，求四棱錐A1-EBFD1的體積．

圖4

師：生7通過補形的方法將三棱錐的外接球轉化為長方體的外接球，而長方體的外接球易于處理，這樣就實現了化歸.這種計算體積的方法稱之為補體法．

(教師板書“方法3：補體法”)

設計意圖通過計算旋轉體(球)的體積，讓學生理解并掌握通過補形的方法解決球的體積問題，培養學生的轉化化歸意識和空間想象能力，提升直觀想象素養．

例4已知三棱錐P-ABC中，棱AC長為6，其余各棱長均為5，求三棱錐的體積．

(學生交流討論，教師巡視)

師：哪位同學說說自己的解題思路？

圖5

師：對！生8給出了此題最基本的解法——公式法，而且解題過程思路清晰、嚴密，非常好！此解法的關鍵是利用側棱長相等找到了頂點在底面射影的位置，確定了三棱錐的高所在的線段，所以體積計算時高的確定很關鍵．除了直接利用公式，還有其他想法嗎？

師：生9將原三棱錐分割成兩個易于求高的三棱錐，使得問題化繁為簡．在求幾何體體積的計算題中常常通過分割幾何體將不易求長度的幾何體轉化為易求長度的幾何體，這種方法我們稱為分割法．

(教師板書“方法4：分割法”)

設計意圖通過解法1與解法2的交流，既回顧了公式法求體積，又讓學生理解與掌握如何進行“恰當”的分割，培養學生的靈活應變能力．

3.3 課堂小結

師：回顧今天所學內容，我們復習了什么知識？收獲了什么方法？

生10：本節課復習了多面體的體積計算，梳理了多面體體積的四種求解方法：公式法、等積法、補體法、分割法．

師：看來，求體積的方法是靈活多樣的，真可謂“若把體積比美錦，橫裁豎剪總相宜”!希望同學們在解題中能正確預判，選擇最為優化的方法，從而解決問題．

4 教學感悟

在高三數學復習中，我們往往關注知識再現和解題技巧，容易忽視在復習過程中如何幫助學生掌握積累數學學習經驗的方法，獲得數學解題活動經驗.在本節課中，筆者進行了以下嘗試：

首先，創設讓每一個學生主動參與數學活動的機會．引導學生正確認識理解數學知識，堅持復習數學知識時先由學生獨立思考、再師生相互討論，發現其內在聯系，總結規律，豐富體驗．在復習多面體和旋轉體的體積公式過程中，首先讓學生課前進行知識再現，課堂上研究柱體、椎體、臺體

三種幾何體的變化規律，發現形狀變化與表示體積的數量關系之間的聯系規律，讓學生能夠整體記憶理解各種體積公式．指導學生動手操作，制作圓柱模型，比較熟練地畫出各種簡單的幾何體圖形，猜想點、線、面的位置關系，通過圖形提高空間想象能力，樹立空間觀點．

第二，幫助學生在數學解題活動中嘗試、體驗、積累數學活動經驗．解題時教師指導學生自主審題，弄清題意，通過畫圖、觀察、比較、歸納、猜想、類比、聯想、運算、建模、討論、反思等活動發現立體幾何知識與問題中的條件、結論之間的聯系，借助原有經驗和解決問題的一般策略發現解題思路，掌握解題方法，總結解題規律，積累解題經驗．針對學生實際，對于求解幾何體體積的每一種方法教師注重實效，難度適當，及時鞏固，力求讓學生一題一得，不貪多求快．

第三，引導學生總結規律，反思活動過程，獲得數學活動經驗尤其是數學解題經驗．一是總結知識形成的本質規律和應用契機，為什么有的學生公式倒背如流就是不會用，就在于學生不知道公式用在哪里、怎樣用；缺乏用公式的經驗．二是探究問題形成的內在聯系規律，問題的條件、結論和數學知識、方法、思想存在著必然的聯系，弄清內在聯系就容易發現解決思路與方案．三是探究解決問題的基本策略與方法，比較不同方法之間的聯系與優劣，尋求應用各種方法解決問題的時機.例如求幾何體的體積關鍵是求高，哪些情況下直接求高、哪些情況下要進行轉化、轉化有哪些策略和技巧，經驗需要總結，總結離不開反思、回顧、頓悟，必須給學生留有自主總結的時間．

本節課還有一些需要改進的地方：(1)本節課要求學生有較強的空間想象和思維能力，對于空間感較差的學生普遍存在學習障礙．在本節課教學中如何培養直觀想象素養方面缺少行之有效的針對性措施，在平時的復習教學中也缺乏一整套成熟的訓練方法．(2)本節課試圖貫徹以學生為主體的理念，引導學生獨立思考，加深理解，主動探究，但在具體活動過程中缺乏章法，特別是如何指導學生積累數學活動經驗，提高分析問題解決問題的能力，從而提升高三數學復習效益還未形成成熟的做法．