新課標視角下概率的教學
——以“古典概型”為例

徐咪咪 (江蘇省蘇州市第五中學校 215008)

概率的教學歷來是高中數學教學中的一個難點．概率內容看似簡單，但如何讓教師教好概率、學生學好概率并不是一件很容易的事情．作為一種“不確定性數學”的內容，概率與傳統的“確定性數學”內容有較大區別．在概率教學過程中，教師要注重培養學生的隨機意識、應用意識和對不確定事件的決策和判斷能力．但是現階段概率教學中，由于抱著以考試為中心的思想，很多教師在概率教學中仍以講題為主，學生學習概率卻不知如何用概率知識去思考問題、處理問題．《普通高中數學課程標準(2017版)》(簡稱“17標準”)在概率的教學方面，從廣度和深度上都提出了更高的要求．在課程設置上，將概率與統計、函數、幾何與代數、數學建模與數學探究活動作為課程結構的四條主線，貫穿必修課程、選擇性必修課程和選修課程．在教學要求上，更強調概率概念的嚴謹性和概率教學的實用性．相信這將一定程度上改變目前概率教學的現狀．

古典概型是人們最早研究的一個模型，是最簡單又最常用的一個數學模型．對比《普通高中數學課程標準(實驗)》(簡稱“03標準”)與“17標準”中與此相關的內容發現，古典概型是“17標準”必修課程中隨機事件和樣本空間教學的重要模型，也為后續選擇性必修課程中概率的深入學習提供了范例．

內容“03標準”目標表述“17標準”目標表述隨機事件了解隨機事件發生的不穩定性理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣本點的關系古典概型理解古典概型及其概率計算公式,會用列舉法計算一些隨機事件數及事件發生的概率理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的概率事件獨立性了解兩個事件獨立性的概念結合有限樣本空間,了解兩個隨機事件獨立性的含義,結合古典概型,利用獨立性計算概率條件概率了解條件概率的概念結合古典概型了解條件概率,能計算簡單隨機事件的條件概率全概率無結合古典概型,會利用全概率公式計算概率

本文以“古典概型”的教學設計為例，以“17標準”為指導，參考人教版新教材，對高中概率的教學設計提出自己的一些看法．

1 教學過程

1.1 情境引入，提出問題

師：俗話說,“龍生龍，鳳生鳳，老鼠生兒會打洞！”可見基因的強大性.關于遺傳，這里有個問題：一對雙眼皮的夫婦生了一個單眼皮的男孩，于是丈夫怨妻子不忠而提出離婚．如果你是法官，你會怎么判定？

生1(笑著搶答)：有這種可能啊！我們家就是．

生2：根據生物學知識，這對夫婦如果攜帶了隱性遺傳因子，那孩子就可能會出現這種情況．

師：從兩位同學的回答，我們可以看出這是一個“可能”會發生的問題．今天我們就來研究這個可能性的大小．其實，同學們在初中就學習過概率，這節課我們就從初中教材中的兩個問題說起！

師：請問這種說法正確嗎？

生3：這不對的!只投一次不能說明問題．

生4：是啊，就算姚明，你讓他投一次，他也不一定會投中啊！

生5：這個就像拋硬幣試驗，要多投幾次．

師：是的，我們需要通過多次投籃，用投中的頻率來近似地估計．但是這樣不僅工作量太大，而且結果具有一定的擺動性，有些試驗甚至還具有破壞性．

師：那這種說法正確嗎？

生6：感覺不對，不同顏色球的個數不一樣，不可能摸到的概率一樣啊．

師：如何求摸出一個球是白球的概率呢？

師：為什么呢？

生7：說不清楚……我覺得是這樣的．

師：如果我們將“從6個球中任意摸出1個”看作一次隨機試驗，可能的結果為(摸到)“白球1”“白球2”“白球3”“黃球1”“黃球2”“紅球1”共6種．每一個球被摸到的概率是多少呢？

學生們不由自主地點頭．

設計意圖從生物遺傳學中的具體情境出發，激發學生的學習興趣．回顧初中教材中的兩個問題，創設“惑”境，用問題引發學生的認知沖突，促進概念的深度學習．其中問題2引出了本節課的核心問題：不進行試驗如何求概率？師生共同分析解題過程，為后續學習做好鋪墊．

1.2 自主探究，建構理論

師：看過了初中教材中的兩個問題，我們現在來看看今天要研究的新問題．

問題3一個口袋內裝有3個白球、2個黃球和1個紅球，它們除顏色外完全相同.現從袋子中摸出2個球，問摸出的2個球都是白球的概率是多少？

生8：可以像剛才的問題一樣，給6個球先進行編號．

師：不妨記白球為1，2，3號，黃球為4，5號，紅球為6號，請說說可能的結果有哪些？

師：一個是“無順序摸取”，另一個是“有順序摸取”，都是可以的．解決了問題2和問題3，我們發現，有一類概率問題可以通過對隨機試驗的結果進行分析解決．那么請同學們說說這類問題具有什么共同的特征呢？

生眾：每一個可能的基本結果發生的可能性都相等．

生11(補充)：結果還得有限多個，否則列也列不完啊．

師：很好！這樣我們就找到了一個理想的數學模型來解決這類等可能條件下的概率問題——我們稱之為古典概型．我們知道隨機試驗的每個可能結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為樣本空間．因此可以從這個角度去定義古典概型．

數學理論1滿足以下兩個條件的隨機試驗的數學模型稱為古典概型(classical probability model)：

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．

問題4如何求解古典概型的概率呢？

師：我們一起來分析一下前面講述的兩個問題．對于問題2，用數字m表示摸到的球號，則該試驗的樣本空間是什么呢？符合古典概型嗎？

生12：{1,2,3,4,5,6}，共有6個樣本點．由于樣本點出現的可能性相等，因此是古典概型．

師：很好！我們把上述兩個問題的結論一般化，就可以得到以下結論．

師：數學史上，古典概型是最早出現的．概率論這門學科源于賭博，大量的分賭金問題迫使人們給出一種合理、公平的方式．帕斯卡、費馬、伯努利等數學家都在古典概率的計算、公式推導、應用等方面做出了貢獻．但直到1812年法國數學家拉普拉斯在《概率分析理論》中才給出了概率的古典定義．

設計意圖將問題2進一步深入，提出新的問題．引導學生總結這些問題具有的共同特點，尋找解決問題的一般方法，建立數學模型．數學史的適當融入，讓學生了解概率在人類文明發展史的應用，體驗數學史的文化魅力．

1.3 數學運用，鞏固新知

例1拋擲兩枚質地均勻的骰子(標記為I號和II號)，觀察向上的點數.

(1)寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；

(2)求兩個點數之和等于5的概率；

(3)求I號骰子的點數大于II號骰子的點數的概率．

思考：如果不給骰子標記號，會出現什么情況？你能解釋其中原因嗎？

設計意圖以學生熟悉的拋骰子試驗為例，第(1)問是鞏固新學的概念，第(2)(3)問是在不同情境下考查學生的抽象能力、應用新知解決問題的能力．思考題則是通過對比，幫助學生進一步理解古典概型中的等可能性．

例2從兩名男生、兩名女生中任意抽取兩人.

(1)分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；

(2)在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率．

設計意圖例2體現了概率學與統計學之間的密切聯系．抽樣方法不同，則樣本空間不同，同一個事件發生的概率也可能不同．不同的統計目的需要選取不同抽樣方法，確保其合理性．

例3人眼的虹膜有褐色的和藍色的兩種，褐色是有顯性遺傳因子D控制的，藍色是有隱性遺傳因子d控制的．已知一個藍眼男人與一個褐眼女人(這個女人的母親是藍眼)結婚，求這對夫婦生下藍眼小孩的概率(只要有基因D就是褐色，只有兩個基因全是d時才是藍色)．

討論：利用概率知識，如何提高優生優育的概率？

設計意圖例3改編自高中生物教材中的一個練習題，是概率在生物遺傳中的應用，與課題的引入相呼應．數學是一種科學的共同語言，跟其他學科的交融，進一步體現出其科學價值和應用價值．

2 教學反思

概率教學的核心是運用數學方法去研究不確定現象的規律．本節課的設計遵循數學知識的發生、發展過程，從直觀感知、操作確認到邏輯論證，從思維的低階向高階遞進，既符合知識的形成與發展規律，也體現了“數學源于現實，用于現實”的理念．結合這節課的教學設計，筆者認為，概率教學中有兩個方面需要關注．

(1)注重概念建構，加深概念理解

在初中時學生對概率就有了初步認識，了解事件發生的可能性．初中的教學內容注重實例，往往以豐富的例子為載體，讓學生體會概率的研究內容，不追求形式化的數學定義．然而高中概率的知識更加注重知識的系統性與完整性，從概率的定義到古典概型，再到隨機變量，從具體到抽象，學生對概率的認識逐步深入．適度的形式化、符號化有助于學生理解概念的本質，實現知識的真正內化．

“03標準”出于將抽象概念具體化的目的，用“基本事件”“基本等可能事件”來引出古典概型．然而由于很多版本的教材對基本事件的本質屬性解讀不夠，使得學生對概念的理解往往停留于記憶性理解．在教學中還發現很多學生甚至對這個概念產生了偏差，誤以為一個試驗只有一種構造基本事件的方式，從而對古典概型的學習產生了負面影響．

正確地定義一個數學概念，特別是概率中的概念，最佳的途徑是進行嚴格、準確的描述．在大學教材《概率論與數理統計》第一章中是以樣本點和樣本空間來描述事件的．“17標準”將大學部分內容下放，明確把“樣本點”“樣本空間”這些作為最基本的概念提出，用集合的觀點來處理事件及事件間的關系，把事件的運算歸結為集合的運算．事實上，集合語言對高中學生而言一點也不陌生，學生進入高中學習的第一章就是集合．作為近現代數學的基本語言，用集合論可以簡潔、準確地表述數學對象．因此“17標準”中這一改變完全符合高中學生的認知特點，遵循學生的認知發展規律．

本節課從兩個來源于初中教材的實際生活問題(問題1、問題2)出發，喚醒學生對古典概型的直觀認識．通過問題3、問題4的設計，引導學生把對問題的表述，從文字語言轉化為數字語言，最后轉化到符號語言，將對古典概率的認識逐步提升到一定的理性高度，以期加深學生對概率論中概念的理解，幫助學生透過表面的文字看到事物的本質．

(2)注重模型建立，發展應用意識

史寧中教授認為數學教學的最終目的之一是用數學的語言表達現實世界，數學的語言就是模型．無論是自然界的問題還是生活中的問題，提出數學模型都是非常重要的．只有通過數學模型，人們才可能清晰地刻畫那些規律性的東西，才能認清事物的本質．古典概型是概率研究中的一個重要模型，我們要在教學過程中加強對隨機試驗的分析，注重挖掘試驗的來龍去脈，關注模型建立的合理性，讓學生明白對同一現實對象也可以用不同的模型來描述.比如本文中問題3，既可以是“有順序地摸取”，也可以是“無順序地摸取”．只要是符合古典概型特征的，都可以用古典概型求解．本節課的設計重在引導學生經歷模型建立、應用的全過程，提高學生利用隨機思想的觀念分析現象和解決問題的能力，幫助學生積累建立數學模型的思維經驗．

概率的研究對象是隨機現象，在生活中有很多實例，涉及稅收、機器人、人口統計、利息等方方面面．除了貼近生活，它和其他學科的教學也存在著一定的聯系，具有知識的發散性和滿足事物的普遍聯系的原理．因此本節課除了選用投籃、摸球、拋骰子等經典古典概型的例子之外，還選擇了兩個體現概率廣泛應用的例子：例2體現的是概率與統計之間的聯系——概率為統計的發展提供理論基礎；例3則選用了生物中遺傳學的例子，是數學與生物學科之間的交叉．這兩個例子符合新課標中培育科學精神和創新意識的理念，有利于學生形成系統、整合的知識體系，提高綜合解決問題的能力．