高考應用題考查規律與教學策略
——以全國Ⅰ卷為例

何 明 (江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

從1978年恢復高考時起，高考數學試卷中就開始有數學應用題，而這僅持續到1984年，之后的高考試題中應用題銷聲匿跡達八年之久．由于數學教育界嚴士健、張奠宙、蘇式冬三位老前輩的遠見卓識與積極努力，自1993年起在高考中恢復了數學應用問題，作為培養中學生數學應用意識的題型——數學應用題已成為每年數學高考的一道“大菜”．回顧1999—2020年高考數學應用問題，我們發現應用題的考查貼近課本、貼近生活、貼近學生實際、貼近問題的實際，逐步形成了有數學內涵和教育功能的命題風格.數學教學中應培養學生的數學應用意識，以及用數學思想與方法解決實際問題的能力．

1 高考數學應用題內容分析

從表1中發現，高考應用題的題型更多地偏向選擇題與解答題，每年應用題一般約占12分到22分不等，其中2018年和2019年應用題分值高達27分.按照目前高考試卷呈現的特點可分為客觀應用題和主觀應用題：客觀應用題一般是單項選擇題、填空題；主觀應用題是高考應用題的主要表現形式，需要書寫必要的解答過程．

表1 1999-2020年全國Ⅰ卷數學應用題的測試題型及分值

表2 1999-2020年全國Ⅰ卷數學應用(解答)題的測試內容

縱觀高考數學應用(解答)題的背景，最突出的一點就是引領中學數學教學向著培養中學生的數學應用意識——市場經濟、環境保護、資源利用、社會服務意識、產品監督、大數據意識等，特別是引導中學生要建立經濟活動中追求最優化的思想；數學應用題的數學內涵也從初期的函數、數列模型過渡到以數學各塊內容為模型，例如概率模型、正態分布模型、數據擬合模型．按照高考應用題的來源來分類，有對教材或者教師參考書中應用問題的改編，也有對國外相關資料的改編或對報紙雜志中情境問題的改造，有的來源于生活、生產實際問題的模型，有的是貼近學生個人的生活經歷的反映．

2 高考數學應用題變化規律

對1999—2020年高考全國Ⅰ卷的研究發現，應用題小題的數量有所增加.2017年以來，全國Ⅰ卷都是兩個選擇題.同時，主觀應用題考查的數學內容也發生了巨大變化：新課程改革后，逐漸過渡到以考查概率統計方面的知識為主，更加突出地考查數學核心素養，對數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析等方面提出了更高的要求．近幾年的全國Ⅰ卷考查的是回歸方程、均值、方差問題，都是統計范疇的知識，從而我們能發現主觀應用題以概率統計問題為背景己經成為近幾年高考中較為穩定的趨勢．

(1) 著重考查了學生的數據分析能力

每個行業都離不開對數據的整理與分析，如今經濟的快速發展更是對人的數據分析能力提出了更高要求，要求人們擁有用數據表達現實問題的能力、用數據思考的能力，積極根據數據探索事物本質，找尋活動經驗.這對于學生的數據分析能力提出了相應的要求．在近幾年的高考試題中，大多是給考生呈現記錄信息的載體(莖葉圖、條形圖、頻率分布直方圖或者是收集、整理、統計的相關數據等)，要求考生對數據運用恰當的統計方法或圖表進行歸類分析，通過直觀的分析和推斷，獲得有用信息．

(2) 注重考查學生的數學抽象能力

最近幾年，應用題著重考查考生把握題設中數學關系的能力，不看具體數據，把實際問題變成數學模型．除此之外，還把一些已知的抽象條件轉化為相應數學關系，進而對題設中的要素加以整合．試題公平、客觀，避免用較長的語言表述背景、描述模型，有利于側重考查學生的建模能力.如2019年高考中斷臂維納斯身高估算(全國Ⅰ卷文理4)，古代典籍《周易》算卦(全國Ⅰ卷理6)，2020年(全國Ⅰ卷文理3、理5)要求學生通過研讀文本，對內容加以整合，在思維活動中抽象出事物的本質屬性，抽象出幾何模型、數據模型等．

(3) 注重現實生活背景考查

近年來，高考數學應用題一般都來源于現實背景，幾乎所有的應用題都包含背景問題，并且取材非常廣泛，多是社會熱點問題，貼近生活，帶有強烈時代氣息．如今，高考數學中的應用題逐漸關注經濟發展以及民生發展，時常還會包含經濟和社會生活方面的知識．隨著國家對于教育提出的“文明其精神，野蠻其體魄”政策的落地與實施，高考應用題以體育賽事為背景的概率計算問題逐漸成為高考的熱點．如籃球賽勝負概率(2019全國Ⅰ卷理15)、羽毛球勝負概率(2020全國Ⅰ卷理19).

3 高考數學應用題教學備考策略

高考數學應用題著重考查數學核心素養，同時對數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析等方面提出了更高的教學要求．在平時的教學中，我們應該更加著重培養學生分析問題和解決問題的能力，加強數學與生活的聯系，培養數學應用意識．

(1)重視學生閱讀理解能力,突出數學抽象素養

閱讀是一個復雜的信息加工過程，是個體通過圖片、文字、公式等材料提取信息，整合并重組信息的過程．數學應用題的最大特點就是文字信息量大，這就需要學生主體在解答應用題的過程中簡化問題，通過閱讀將有效的數學信息從中抽象概括出來形成數學問題，然后建構新的數學模型，選取恰當的策略解決問題．教學中，應讓學生獨立分析理解題目信息，并讓學生把他覺得重要的信息提取出來，再將這些信息與之前學過的知識建立聯系，最后讓學生表達自己的解題思路，通過自己的閱讀，分析獲得了哪些重要的信息、材料中包含了怎樣的等量關系和數量關系或者內在聯系、能夠運用什么樣的數學思想和方法、還有什么樣的困惑沒有解決、有沒有其他補充.學生只有經歷嘗試和實踐才能夠將知識內化為數學知識的整體結構，在做題的時候才能逐步提高學生數學閱讀能力，將實際問題抽象成數學問題，從而培養數學抽象素養．

(2)發展學生自主學習能力，培養學生的模型意識

在這個信息技術高速發展的時代，大量新鮮事物的出現體現了當代的時代特征．數學應用題也體現著時代特點，以時代為背景的考題不斷涌現，比如華為、小米手機的生產率問題，全球化貿易利潤問題，新冠病毒感染模型，其中還伴隨著專業名詞出現.這樣的情況也為學生解決數學應用題提供了難度.“兩耳不聞窗外事，一心只讀圣賢書”的時代已然過去，固步自封只會限制社會的發展，限制學生的發展.例如，平時可以看看體育賽事：世界職業棒球賽采用全美籃球總冠軍7強決賽制，美國網球決賽女子采用3強賽，男子采用5強賽，如果某隊隊員實力較弱，哪種賽制獲勝的可能性較大？若學生在課下對這些比賽規則有過了解，那么對與體育賽事有關的概率計算就相當于會了一半．教師要經常在課上課下滲透當下生活和科學等方面的熱點問題，幫助學生了解時政新聞，與世界接軌、與時代接軌，進一步減小應用題的難度.但畢竟在校時間有限，目前各類信息量大，還需要學生自主學習了解當下時代發展前沿.學生可以通過互聯網、圖書館報刊、講座等方式獲得新鮮事物的信息，通過對外面新鮮事物的認識，進一步豐富現有的各類數學模型．

(3)重視建模思想的應用，培養學生的數學建模素養

數學建模思想在解決數學應用題的作用上是至關重要的，也是數學建模素養的重要體現．數學建模思想是指通過將現實的問題或者情境抽象為數學問題，建立方程、不等式、函數等模型來表現數學問題中的數量關系以及變化規律，然后利用數學思想方法解決這類問題的方法策略和意識．如2018年全國Ⅰ卷第15題是工作安排方案問題，考查學生建立排列組合模型的能力，考查計數原理和排列組合的數學基礎知識；2019年全國Ⅰ卷解答題21題是藥物有效性問題，與之對應的是概率模型考查分布列和數學期望的相關內容；2020年全國Ⅰ卷選擇題第5題是種子發芽率問題，與之對應的是根據散點圖的分布選擇合適的函數模型．高考題雖沒有建模活動，卻在題目中滲透了建模思想，需要學生有意識地運用數學語言表達問題，建立數學模型，運用數學方法解決問題．數學創新型應用題涉及到的數學模型主要有概率統計模型、排列組合模型、解析幾何模型、數列模型、線性規劃模型、函數模型和立體幾何模型，所以教師要以相關模型為背景設置練習題，重視建模思想的運用，鍛煉學生熟練掌握建模思想的能力，進而培養數學建模能力．

縱觀1999—2020年高考數學應用題，其主要體現了數學建模這一核心素養.我們要重視數學實際問題與生活生產的聯系，培養學生建立正確數學模型的能力.在解決應用題的過程中，要先分析材料，將有效數學信息抽象提取出來，再根據知識的背景進行代數運算，提升學生的數學抽象、數學運算和數學建模素養．正確進行數學應用題的教學，注重核心素養的培養，對學生解題能力、思維能力和創新能力都有很大提高．