談圖形運動產(chǎn)生的圖象問題

黃思佳 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學(xué) 215021)

圖形在運動過程中會有很多變量，取兩個相關(guān)聯(lián)的變量就會產(chǎn)生函數(shù)，進(jìn)而可以生成函數(shù)圖象．有一類圖形運動產(chǎn)生的圖象問題，已成為近幾年中考的熱點問題．很多學(xué)生認(rèn)為這類問題較難，是因為沒有搞清楚圖形與圖象的關(guān)聯(lián)，“形”與“象”分離來看，自然難以解決．如果搞清楚這類問題的解題思路技巧，其實是較容易解決的．

這節(jié)課主要讓學(xué)生對問題的產(chǎn)生、發(fā)展和解決有一些初步的認(rèn)識．

1 問題產(chǎn)生

如圖1，四邊形ABCD是邊長為30 cm的正方形，等腰直角△EFG的直角邊長為20 cm，邊FG與BC在同一條直線上，點G與點B重合，△EFG沿BC方向向右移動，速度是2 cm/s，時間為t，點F與點C重合時運動停止，S表示三角形與正方形重疊面積，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖象．

圖1

圖2 圖3 圖4

圖5

設(shè)計意圖用這樣一個問題引入，讓學(xué)生感受圖形運動，經(jīng)歷運動過程中兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的建立、函數(shù)圖象的繪制，體會圖形運動產(chǎn)生函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)性，理解圖象的信息與圖形的條件密切相關(guān)．因此，在接下來解決由圖象信息探索圖形運動過程的問題中，要將圖形與圖象對照、聯(lián)系起來觀察．

2 問題發(fā)展與探究

2.1 動點產(chǎn)生一次函數(shù)圖象

問題1如圖6，在矩形ABCD中，動點P從A出發(fā)，以相同的速度沿A-B-C-D-A方向運動到點A處停止．設(shè)點P運動的路程為x，△PAB面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖7所示．

圖6 圖7

(1)矩形ABCD的面積為；

(2)a=，b=，n=；

(3)求x為何值時，△PAB的面積等于12？

思路分析 先整體感受圖形運動，定性分析，將圖形上點的運動過程與圖象上的分段函數(shù)一一對應(yīng)．動點在圖形上運動路線發(fā)生轉(zhuǎn)折時，函數(shù)圖象也會隨之發(fā)生轉(zhuǎn)折，因此，定量研究解決問題時，需抓住圖象的“拐點”，畫出對應(yīng)的圖形，從而化動為靜，將問題轉(zhuǎn)化為一般的圖形問題，利用拐點的信息即可求解．

圖象中點E坐標(biāo)(6,0)，對應(yīng)圖形中為點P運動至點B，由此可得AB=6.圖象中點F橫坐標(biāo)18，對應(yīng)圖形中點P運動至點C，因此BC=12，進(jìn)而可得a,b,n的值．

從圖象來看，圖象的函數(shù)解析式就是△PAB的面積與x的關(guān)系，求出EF的解析式y(tǒng)=3x-18和GH的解析式y(tǒng)=-3x+108，將y=12代入，即可求得x=10或32．

設(shè)計意圖通過問題1，讓學(xué)生體會解決這類問題的一般方法，明白圖形和圖象密不可分，認(rèn)識到“拐點”的重要性和畫圖的必要性．

問題2如圖8，A,D分別在x軸和y軸上，CD∥x軸，BC∥y軸．點P從D點出發(fā)，以1 cm/s的速度沿五邊形OABCD的邊勻速運動一周．記順次連結(jié)P,O,D三點所圍成圖形的面積為Scm2，點P運動的時間為ts．已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖9中折線段OEFGHI所示．

圖8 圖9

思路分析 與問題1進(jìn)行比較，點P都是沿多邊形的邊運動一周，函數(shù)圖象都是三角形面積與運動路程的關(guān)系，都是線性關(guān)系．兩個圖象極其相似，有一點區(qū)別在于動點P在五邊形上運動比在矩形上運動多了一次轉(zhuǎn)折，因此函數(shù)圖象多了一個“拐點”．

此題作為開放題，讓學(xué)生提出問題并解決．有學(xué)生提出可以利用圖象上“拐點”的信息求出五邊形的各邊長．

圖10

還有學(xué)生提出和面積有關(guān)的問題，如求五邊形的面積、求△POD面積的最大值、模仿問題1提出“t為何值時，△POD的面積為8”.此題利用圖象解析式求解更為簡潔．

設(shè)計意圖通過問題2，讓學(xué)生學(xué)會觀察比較，更加深刻理解圖形運動與函數(shù)圖象的關(guān)系，充分利用圖象中“拐點”信息求出未知．

2.2 動點產(chǎn)生二次函數(shù)圖象

問題3如圖11，菱形ABCD中，∠A=60°，點P從A點出發(fā)，以2 cm/s的速度沿邊AB,BC,CD勻速運動到D終止，點Q從A與點P同時出發(fā)，沿邊AD勻速運動到D終止，設(shè)點P運動的時間為t(s)．△APQ的面積S(cm2)與t(s)之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖12中的曲線段OE與線段EF，F(xiàn)G給出．

圖11 圖12

(1)AB=，點Q運動的速度為；

(2) 求圖12中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；

圖13

設(shè)計意圖問題1和問題2的運動過程中，三角形的底是定值，高與自變量成一次函數(shù)關(guān)系，因此產(chǎn)生的函數(shù)圖象都是一次函數(shù)；問題3中出現(xiàn)了底、高與自變量都是一次函數(shù)關(guān)系，則三角形面積與自變量為二次函數(shù)關(guān)系，因此圖象中有一段為拋物線.讓學(xué)生了解函數(shù)圖象形式多種多樣，它由運動中變量的關(guān)系式?jīng)Q定．

2.3 動點產(chǎn)生反比例函數(shù)圖象

問題4(1)如圖14，在矩形ABCD中，動點P從B點出發(fā)，沿B-C-D方向運動到點D處停止．設(shè)BP長度為xcm，點A到直線BP的距離為ycm，y與x的函數(shù)圖象如圖15所示．

圖14 圖15

問：m=，n=．

思路分析 圖形上點P由B運動到點C的過程中，點A到BP的距離始終為線段AB的長，所以AB=n，由圖象上點E對應(yīng)圖形上點P運動到點C處，因此BC=8 cm．點F對應(yīng)圖形上點P運動到終點D處，因此BD=10 cm，從而由勾股定理得n=6，m的值為點A到BD的距離AQ，如圖16．由等積法或相似可求得AQ=4.8 cm，即m=4.8，其實AB,AD,BD,AQ四條線段任意知道兩條，另外兩條即可求．

圖16 圖17

另外，此題需引導(dǎo)學(xué)生說明圖象上EF段為何是反比例曲線，這樣學(xué)生對圖形運動產(chǎn)生的圖象認(rèn)識才更加深刻．求EF段解析式，如圖17．

圖18 圖19

思路分析 ①圖象上點E對應(yīng)圖形上點P運動到點D處，所以半徑OD=2 cm，n=tan 45°=1，點F對應(yīng)點P運動到點A處，因此m=2+π．

圖20

設(shè)計意圖如果選擇的兩個關(guān)聯(lián)變量在運動過程中滿足乘積不變，圖象中就會出現(xiàn)反比例曲線.讓學(xué)生進(jìn)一步理解圖象是由運動產(chǎn)生的，運動產(chǎn)生了函數(shù)，函數(shù)決定了圖象；了解問題的產(chǎn)生和發(fā)展，掌握問題的解決策略，鍛煉學(xué)生的讀圖能力、分析問題能力、提取信息的能力．

3 教學(xué)啟示

以函數(shù)圖象為背景的動態(tài)幾何問題是對學(xué)生綜合能力的考查．教學(xué)時，要注重問題的生成、發(fā)展和延伸，讓學(xué)生經(jīng)歷問題的產(chǎn)生、體會運動的過程、培養(yǎng)分析的能力、掌握解題的思路方法，感受化動為靜、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想．在解決具體問題時，要培養(yǎng)學(xué)生畫圖的習(xí)慣，以這種專題探究的形式鍛煉思維，提高能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．