借球問道 提升想象 助力素養
——“空間幾何體的外接球”一輪復習與反思

陳桂明 (江蘇省揚中市教師發展中心 212200)

1 學情分析

本次借班授課的教學對象是新四星級高中的高三物生地組合班學生，學生具備了一定的自主學習能力、運算能力和綜合運用知識解決問題的能力．由于在高一教學時僅簡單涉及空間幾何體的外接球，學生對空間幾何體知識的儲備及空間想象能力有限，空間幾何體外接球問題更是學生的一個薄弱點．

2 考點解讀

縱觀近幾年高考數學全國卷，球常和其他空間幾何體相結合，既是考查的熱點又是考查的難點，常以選擇題和填空題的形式出現，考查球的表面積或體積，基本上都是中等難度試題．空間幾何體與球的相關問題實質上是研究球的半徑和確定球心的位置問題，這些不僅需要學生具有良好的空間想象能力，還需要學生具有較強的邏輯思維能力、空間問題平面化的降維能力，以及一定的數學運算能力．

教學目標 (1)以柱體、錐體的外接球問題為載體，探究確定球心位置的方法，完善知識方法體系，體會轉化與化歸的數學思想方法，提高解決數學問題的意識與能力，積累解題經驗；(2)通過對柱體和錐體外接球的研究，進一步提高學生將實物和模型抽象為空間圖形和符號語言的能力，并通過對空間圖形的組合、分解、轉化，促進直觀想象素養的提升．

教學重點 外接球球心位置的確定，并計算其半徑．

教學難點 外接球球心位置的確定．

3 過程實錄

3.1 前置學案的反饋

師：同學們，課前大家已經完成了前置學案，請充分討論．

問題1平面上，三角形的外接圓圓心如何確定？其半徑如何計算？

師：很好！(追問)三角形外心可能位于三角形的什么位置呢？

生1：需要分類.當三角形是銳角三角形時，外心在三角形的內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊的中點上．

師：回答得真棒！

問題2球的定義是什么？它有哪些性質？

生2：半圓繞它的直徑所在直線旋轉一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球．

師：對！類比圓，我們知道球心與球面上任一點的連線就是球的半徑．球又有哪些性質呢？

(利用GGB展示用平面去截球面的動畫)

生3：用一個平面去截球面，所得的截面是圓面，截線是一個圓．當截面經過球心時，則截線圓是球O的大圓，大圓半徑就是球的半徑；當截面不經過球心時，則截線圓是球O的小圓．

生4：球心和截面圓圓心的連線垂直于截面．

師：(追問)根據這個性質，類比外心的確定，球心位置如何確定呢？

生4：過小圓圓心作截面的垂線，球心一定在此垂線上．

師：回答得真好！該性質有助于我們確定球心的位置．球還有什么性質呢？

生5：球心到截面的距離d、截面圓的半徑r及球的半徑R所在線段構成直角三角形，它們滿足d2+r2=R2(圖1)．

圖1

師：根據該性質，就能將空間問題平面化，通過降維轉化為平面問題，它有助于球半徑的求解．

問題3球的表面積和體積公式：S表=,V球=．

師：所以涉及球的表面積或體積計算時，決定因素是球的半徑，而球半徑的求解關鍵是球心位置的確定．

3.2 例題變式講解

·柱體外接球問題

例已知長方體的長、寬、高分別為3,4,5，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為．

不急于讓學生說出答案，先讓學生回答如下問題．

師：該長方體的外接球球心在哪兒？你確定的依據是什么？如何求出半徑？

變式1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在球O的球面上，且AB=3，AC=4，BC=5，AA1=5，則球O的半徑為．

師：球內接長方體變成了直三棱柱，如何求球半徑？

師：生8采用的是間接法，通過補形，補成一個與直三棱柱有公共外接球的長方體，且該長方體的外接球易于處理，這就是轉化與化歸思想的體現．生9采用直接法，利用球的幾何性質找球心、求半徑，這是數形結合思想的體現．

變式2 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在球O的球面上，且AB=AC=BC=3，AA1=5，則球O的半徑為．

生11：補形，補成一個底面是菱形的直棱柱．

生11剛講完，生12就舉手示意．

生12：不對，我一開始也這樣思考的，但后來發現等邊三角形補形后的底面是菱形，這個菱形沒有外接圓．

師：生12解釋得很好，三角形一定有外接圓，但其他多邊形并不一定有外接圓，所以補形對于變式2是行不通的．(利用GGB展示變式2中直三棱柱的外接球和補形后的直四棱柱)

師：同學們可以仿照前2個變式，對例題進行再改編嗎？

生13：繼續改變底面三角形形狀，將特殊三角形改為非特殊的三角形呢？

師：生13的想法很好！由特殊到一般，按生13的想法，底面三角形需要哪些條件呢？為什么？

生14：只要提供一邊及其對角就可以了，因為對邊對角都有了，根據正弦定理，底面三角形外接圓的半徑就可以求解了，然后球半徑也就可以計算了．

生15：改“直三棱柱”為“等高圓柱”，求圓柱的外接球半徑.其實圓柱的外接球與直三棱柱的外接球是同一個球．

師：同學們真棒！下面請大家總結一下，處理柱體外接球的策略方法是什么呢？

生16：解決柱體外接球的關鍵就是找球心、求半徑．

生17：解決柱體外接球的方法主要有：一是直接法，利用定義或性質；二是間接法，通過補形進行轉化．

·錐體外接球問題

生18：老師，我們可以將“長方體”改成“三棱錐”，求三棱錐的外接球．

師：生18的想法很好，與老師心有靈犀啊，下面我們一起看變式3．

變式3 三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的表面上，且PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=3，BC=4，PA=5，則球O的體積為．

師：變式3未提供圖形，我們需要根據題意畫出對應的圖形，如何畫圖呢？

教師板書示范：先畫一個球及球心O，再畫一個截面圓及底面△ABC(一般將點A畫在邊界上，根據AB是截面圓的直徑畫出B)，最后在點A豎直方向上的球面上畫出點P，從而畫出符合題意的三棱錐(圖2)．

圖2

師：大家結合柱體外接球的處理方法，思考變式3，并談談自己的想法.

生19：由于有垂直關系，想到可以補形，把三棱錐補成直三棱柱，這樣就與變式1是一個問題了．

師：很好！生19采用間接法，通過補形，將三棱錐補成三棱柱，當然也可以補成長方體，即將棱錐的外接球問題等價轉化為柱體的外接球問題了，一是體現了化歸思想，二是體現了模型思想．

師：生20真善于挖掘圖形中的幾何關系，其實這個三棱錐很特別，在《九章算術》中把這樣四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．

生21：可以借助性質來確定出球心的位置，設AB中點為H，則OH⊥平面ABC，于是PB必過球心O，且O為PB的中點．

生22：可以通過建立空間直角坐標系，建立方程組計算出球心O的坐標．

師：想法很別具一格啊！你是怎么思考的，請上講臺來跟我們具體談談？

圖3

師：真精彩！看來本題的解法很多，一是直接法：找球心(定義找、性質找、計算找)，求半徑；二是間接法，補成共球且易于處理(或熟悉)的幾何體，一般補成長方體、正方體這些基本模型．那這些方法中，大家更喜歡哪種呢？

學生共同回答：間接法進行補形．

師：不錯！補形更為簡單、直觀．在正方體或長方體中取四個不同的頂點，你還能得出哪些特殊的三棱錐呢？

生23：三條側棱兩兩垂直的三棱錐．

生24：三個側面兩兩垂直的三棱錐．

生25：對棱相等的三棱錐．

師：(教師即時用GGB展示取點得到對應的三棱錐)很好！能找到所有棱長都相等的三棱錐嗎？

生25：長方體中沒有，但正方體中有．

師：對！我們把所有的棱長都相等的三棱錐叫做正四面體．那正四面體的外接球半徑如何求解呢？

變式4 正四面體P-ABC的棱長為3，且其所有頂點都在球O的球面上，則球O的半徑為．

師：很好！補形很快就能把復雜問題簡單化．

生27：可以用直接法.在球O中畫出正四面體，設底面ABC的中心為O1，則球心O必定在正四面體高PO1所在的直線上，連結OA，在Rt△O1OA中，利用勾股定理可求出球的半徑．

生28：過P作PO1⊥平面ABC，O1為垂足，過C作CH⊥平面ABP，H為垂足，則依據球的性質，PO1與CH的交點就是球心O．連結OA，則OA=OP=R，在Rt△O1AP中可以求出球的半徑．

師：這兩種方法有類似的地方，都是作高、找球心、求半徑，而且更具一般性．這種方法除了可以解決棱錐的外接球問題，也能解決圓錐的外接球問題．那么請大家總結下，處理錐體外接球的策略方法是什么呢？

生29：處理錐體的關鍵還是找球心、求半徑，具體的方法有直接法和間接法．

3.3 課堂小結

師：回顧本節課大家的學習歷程及幾何體的演變，請同學們思考，有哪些收獲？還有什么困惑？

4 教學感悟

在江蘇省即將參加全國新課程高考的大背景下，如何進行高三數學復習，特別是立體幾何復習，我們有許多困惑，如復習難度、內容廣度、題型深度、練習密度等的把握，尤其是在復習過程中如何圍繞培養空間想象素養追求綱舉目張、以一當十，心中無數.本節課試圖在復習教學活動中有所體現、有所嘗試、有所突破．《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數學問題的素養．本節課是高三一輪立體幾何復習課，它承擔著學生直觀想象能力的培養，尤其是空間想象能力的培養的作用，這是其他模塊無法替代的．在復習教學過程中，筆者有以下感悟：

(1)在“畫圖”中發展學生的數學抽象素養

幾何離不開圖形，圖形是對空間物體的抽象，是研究空間事物的位置關系、形態變化與運動規律的載體．生活中平面幾何圖形的模型處處都有，一張紙、一塊黑板……學生可以通過直尺、圓規真實地畫出來，但立體幾何圖形是三維的，畫好直觀圖為研究事物的形態和變化規律提供了工具，可使空間想象素養的培養落在實處，因此畫圖是立體幾何教學中學生必須掌握的基本功.而畫圖能力恰是學生的一個薄弱環節，為了提高學生的畫圖能力，在本節課的教學中，所有的例習題均不配圖，這就倒逼學生要畫出符合題意的圖形；其次，筆者通過畫圖示范，引導學生作出準確而富有立體感的直觀圖，體會從實際事物、模型到直觀圖形的抽象，獲得畫圖的感性認識和操作方法；最后，通過信息技術輔助教學，借助GGB軟件，讓學生進一步感受畫圖的過程，直觀感知幾何體的外接球，從而發展學生的直觀想象素養．

(2)在“想圖”中發展學生的直觀想象素養

借助實物或幾何模型，對實物的空間形式進行觀察、分析、概括，是對實際事物的一種抽象.反過來，對空間圖形的點、線、面的位置關系與變化規律進行分析，想象實際模型或事物，是以圖想物，這是一種空間直觀想象，這樣才能形成空間立體圖形的想象思維．例如在確定長方體、直棱柱、正四面體等的球心時，就可以通過“想圖”來猜想判斷球心的位置：發揮想象力，想清楚長方體、球各部分之間的關系，在大腦中“想”出空間圖形，再將空間圖形一層層剝離，變成一個個基本的點、線、面，讓學生在“想圖”中發展空間想象能力．

(3)在“識圖”中發展學生的直觀想象素養

圖形是從實物和模型第一次抽象后的產物，也是形象、直觀的語言；文字是對圖形的描述、解釋與討論；符號則是對文字語言的簡化和再抽象．從文字符號語言到空間立體圖形是一個“無中生有”的過程，是培養學生進一步形成直觀想象能力的過程.在此基礎上，深入研究圖形中的位置關系與數量關系以及變化規律，加深對圖形本質的理解，可以螺旋式提升直觀想象水平．因此本節課在畫出圖形(或題目給了圖形)后，教者就力圖引導學生認真分析圖形結構、分析圖形中的位置特征及數量關系，力求以形想數、以數馭形，必要時把一些平面圖形從立體圖形中分離出來，既能凸顯圖形的本質特征，又能讓學生掌握立體圖形的變形技能，提高“識圖”能力．

(4)在“用圖”中發展學生的直觀想象素養

空間直觀圖形是培養直觀想象素養的載體，畫圖有助于理解題意，想圖能夠更快捷地發現解題思路，識圖則能高屋建瓴把握全局．在高三立體幾何復習中，用好各種立體圖形尤為重要，本節課中涉及的空間幾何體中，長方體、三棱錐、球是基本圖形，它們類似于平面幾何中的直角三角形、圓．而長方體又是最基本的圖形，它在生活中隨處可見，學生所在的教室則提供了離學生最近的實例，所以我們要用好基本圖形.本節課就是從長方體出發，沿著兩個方向變化：一是由長方體到正方體、直棱柱，再到圓柱；另一個方向是由長方體到棱錐，再到圓錐，再回到長方體中.這樣就實現了空間幾何體中基本模型的覆蓋，也將解決空間幾何體外接球的策略方法實現了統一．