打磨教學設計，提升復習效率

沈曉音

摘要：由矩形折疊而產生的求線段的長度問題的教學關鍵，是根據軸對稱的性質，厘清折疊前后的變量和不變量。充分挖掘圖形中的條件，先將復雜的圖形分解成基本圖形，然后利用基本圖形和常用模型，運用常規的方法求解線段的長度是矩形折疊問題解題的通性通法。

關鍵詞：問題設計;學習品質;折疊

圖形的折疊是一種對稱變換，本質是軸對稱。折疊前后圖形的位置發生了變化，但圖形的形狀、大小不變。在數學教學活動中，矩形的折疊容易得到特殊的線段位置關系、特殊的三角形和特殊的平行四邊形，考查了學生的幾何識圖能力、空間觀念、直觀想象等核心素養，在解題時蘊含了轉化思想、方程思想，綜合性強，思維能力要求高。在最近幾年的杭州中考中，均出現了以矩形折疊為背景的考題，但學生的解題情況不容樂觀。為此，筆者特設計了這節復習課，探討具體的教學方法。

一、目標分析

（1）理解折疊與軸對稱的關系，掌握軸對稱的定義和軸對稱的性質。

（2）運用軸對稱性質、全等三角形的性質、矩形的性質等知識，解決折疊問題中有關的角度和線段長度的問題。

（3）通過分析折疊中出現的特殊三角形，體會轉化思想。（四邊形問題轉化為三角形問題）

（4）結合探究線段長和線段數量關系的方法，體會方程思想和轉化思想在研究數學問題時的作用。

教學重點：軸對稱性質在折疊問題中的運用。

教學難點：綜合運用知識挖掘矩形折疊問題中角度和線段的數量關系。

二、教學實施

（一）第一次教學時的引入

如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E是CD邊上一點，將△ADE沿直線AE翻折，得到△AEF。點D的對應點是點F。

問題1：當點F恰好落在AB上時（圖1所示），此時你能得到哪些結論？

生：四邊形AFED是正方形。

師：還有嗎？

生：線段AD=AF，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠ADE=∠AFE，∠DEA=∠FEA。

師：還有什么結論嗎？

（無人回答。大部分學生首先想到的結論就是得到一個正方形，在追問的情況下才得到邊、角的等量關系，再追問則回答不了了。）

【課堂反思】在課堂提問環節，我問得過于寬泛，缺乏指向性，不夠具體。從學生角度看，他們往往注重整體，疏忽了角、線段等細節。這也提醒自己以后提問時要更關注細節，更關注問題的方向。

接下來我又提出兩個問題：

問題2：當點F恰好落在對角線AC上時（如圖2所示），求DE的長。

問題3：當點E與點C重合時（如圖3所示），CF與AB交于點K。

（1）判斷△ACK的形狀。

（2）求△ACK的面積。

在這次的教學實施過程中，由于一開始問題的指向性不明確，鋪墊不夠，導致問題1出現時，學生不能有針對性地回答。于是，年級組成員建議提供給學生一些考慮的方向，讓學生思考慮問題時更有系統性和條理性。

為了鍛煉學生的動手能力和讀題能力，也為了通過作圖更好地掌握折疊的性質（折疊前后對應邊相等，對應角相等，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分），我決定把前面的3個問題改成讓學生自己根據題目條件動手折疊紙片，再做出翻折后的圖形。

我把前面的三問做了修改。

（二）第二次教學的兩個主要改變

一折：明性質

如圖4所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E是CD邊上的一點，將△ADE沿直線AE翻折，得到△AEF。點D的對稱點是點F。

情境1：當點F恰好落在AB上時，請你在老師發下的白紙上先動手折一折，并在圖4上作出折疊后的圖形。此時你能得出哪些結論（可以從點點重合、邊邊重合、形重合等方面來考慮）

師：同學們是怎么作圖的呢？

生1：作AF=AD交AB于點F，再作∠DAF的角平分線交DC于點E，連接EF。（圖5）

師：你用了什么方法？依據什么？

生1：因為AF的對應線段是AD，∠DAE= ∠FAE，所以可以作∠DAF的角平分線。圖形的折疊是一種對稱變換，本質是軸對稱。對應線段所在射線的夾角被對稱軸平分。

生2：先作AF=AD交AB于點F，再作DF的中垂線交DC于點E，連接EF。（圖6）

師：你是怎么想到的？

生2：對應點所連的線段被對稱軸垂直且平分。所以我先找到點D的對應點。

教學分析：學生經過自己的折疊、畫圖，已然知道這樣折疊之后的圖形中相等的角、相等的線段、全等的圖形。

情境2：當點F恰好落在對角線AC上時（如圖7所示），請你動手折一折，作出折疊后的圖形，并求DE的長。

圖形作法：

生1：作AF=AD交AC于點F，作∠DAF的角平分線交DC于點E，連接EF。（圖8）

生2：作AF=AD交AC于點F，作DF的中垂線交DC于點E，連接EF。（圖9）

學生解法：

生1：設DE=x，則EC=8-x，EF=x

在Rt△CEF中，由勾股定理得到：x2+42=（8-x）2

解得x=3，

∴DE=3

方法小結：勾股定理是直角三角形中求邊長的重要理論依據。解題時，通常先找到直角三角形，然后設要求的線段長為x，根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，運用勾股定理列出方程，從而求出解。

生2：由△CEF∽△CAD，得到DE：6=4：8

∴DE=3

方法小結：相似法是求線段長度常用到的方法之一，根據兩個三角形相似，得到對應邊成比例，列出方程，求出答案。在初中階段，相似中的基本圖形主要有：

①“A”字型、反“A”字型（如圖10、圖11所示）

條件 DE∥BC ∠1=∠2

結論 △ADE∽△ABC

AD：AB=AE：AC

=DE：BC △ADE∽△ACB

△ADC∽△ACB

AD：AC=AE：AB

=DE：CB

（AC2=AD·AB）

在任意一組比例式中，已知三條線段，就可以求出一條線段。其中，反“A”字型的特殊情況，只要已知兩條線段，就能求出另一條線段。

②“8”字型、反“8”字型（如圖12所示）

條件 ED∥BC ∠1=∠2

結論 △ADE∽△ABC △ADE∽△ACB

“8”字型、反“8”字型相似圖形可以看成是由“A”字型、反“A”字型圖形繞著點A旋轉180°而得到的圖形，對應線段之間也是知三可求一。

③母子型（如圖13所示）

條件 在直角三角形ABC中，CD⊥AB

結論 △ABC∽△ACD∽△CBD

BC2=BD·BA? ? ?CD2=BD·AD

AC2=AD·AB

在母子型圖形中，根據相似線段之間的關系往往已知兩條線段，可以求出另一條線段。

④“一線三等角”型（如圖14、圖15所示）

條件 ∠B=∠D=∠ACE=Rt∠ ∠B=∠D=∠ACE

結論 △ABC∽△CDE △ABC∽△CDE

其中，包含直角的“一線三等角型”常隱含在矩形、正方形（弦圖）中。尤其是在平面直角坐標系中，通過作過點的垂線段就可以構造成“一線三等角模型”。

生3：由

得到6（8-x）=10x，解得x=3

∴DE=3

方法小結：面積法也是求線段長的常用方法之一，尤其在求垂線段的長度時更為突出，利用圖形面積的不同表達方式建立方程、求出答案。

學生用勾股定理法、相似法、等面積法建立方程，體現了多種數學思路，同時蘊含方程思想。

情境3：當點E與點C重合時，請你動手折一折，并作出折疊后的圖形，設CF與AB交于點K（圖16）。

①判斷△ACK的形狀。

②求出△ACK的面積。

生：△ACK是等腰三角形（如圖17所示）

由折疊可知∠1=∠2，由DC∥AB可知∠1=∠3。

∴∠2=∠3

∴△ACK是等腰三角形

方法小結：“角平分線+平行? ? ? ?等腰三角形”，這是等腰三角形判定的基本圖形之一。由此推論為：“角平分線+等腰三角形? ? ? 平行線”，“等腰三角形+平行線推出角平分線”。掌握這個基本模型及推論，在解決類似幾何題時，可以縮短思維鏈，分析思路會更加清晰明確，直指問題核心，這樣解題就會得心應手。

二折：提能力

如圖18，折疊矩形紙片ABCD，具體操作：（1）點E為AD邊上一點（不與點A、D重合），把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點的對稱點為F點;（2）過點E對折∠DEF，折痕EG所在的直線交DC于點G，D點的對稱點為H點。

（1）求證：△ABE∽△DEG;

（2）若AB=3，BC=5。

①當AE=1時，求DG的值;

②點E在移動的過程中，求DG的最大值;

③如圖19所示，若點C恰在直線EF上，連接DH，求線段DH的長。

分析：

（1）根據兩角對應相等兩三角形相似證明即可。

（2）①由第一小題的相似得出對應邊成比例，求出DG。

【設計意圖】以矩形折疊為背景，充分利用折痕位置的變化來構建一系列變式問題。探究矩形折疊中的幾何問題，將方程和相似的轉化思想融入其中，增加了復習課知識的寬度和深度，讓學生在解決問題的過程中感悟折疊的魅力，提高幾何分析綜合能力，發展學生的核心素養。

三、教學反思

（一）多種操作明性質

在教學中，只有當學生真正參與到學習活動中，才能真正提升其數學學習力。本節課引入部分的三個問題情境，表面上看是讓學生動手折疊、作圖，實則是需要學生去分析、猜想、判斷、推理，是融動腦思考和動手操作為一體的。讓學生在動手折疊操作的過程中了解矩形折疊的本質特征，同時也為復習課增添一份學習興趣和樂趣。所以，教師要重視為學生提供動手作圖的機會，讓學生在理解的前提下，積累一定的操作經驗，發展空間觀念和直觀想象等核心素養。

（二）分解轉化顯方法

“授人以魚，不如授人以漁。”復習課要解決的不是一兩道題，而是一類題或一系列問題，需要進一步思考每個知識點之間的銜接。

一個復雜的圖形往往能分離出基本的幾何圖形，把復雜的問題轉化成我們熟悉的簡單問題。教師在平常的教學中就要時常向學生滲透這樣的轉化思想。在這節課中，教師引導學生共同歸納出等腰三角形、相似三角形等基本圖形，小結出求線段長度最常用的方法：勾股定理法、相似法、面積法，能利用這些知識之間的相互聯系，建立起位置與數量之間的對應關系，使得在面對較為復雜的圖形時能迅速抓住問題的本質，找到相應的數量關系，從而找到解題的突破口，培養學生的數學直覺、直觀想象、邏輯推理等核心素養。

（三）歸納小結提品質

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：在數學課程中，應當注重發展學生的模型思想。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。在平時教學中，我們要適度地關注模型、提煉模型、滲透模型，總結一些重要的基本模型，能靈活地運用模型，讓數學模型更好地為我們服務。如這節課中的“雙平等腰模型”：從矩形提供的平行+折疊產生的角平分線，得到了等腰三角形，這是解決問題的關鍵所在。還有“一線三等角”模型，指的是有三個相等的角在同一條直線上，往往可以構造相似圖形。

參考文獻：

[1]易良斌.中考數學復習微專題講座[M].杭州：浙江大學出版社，2017（3）.

[2]段坤山.構造圖形求準確，數形結合找臨界[J].中學數學教學，2020（1）.

（責任編輯：韓曉潔）