加強學習資源設計，提升數學學習水平

汪小蓮 易良斌

摘要：依據課標和主題的學習目標，按照學生的認知規律循序漸進地設計學習資源，通過知識的理解與建構、方法剖析與提煉、能力訓練與拓展、綜合應用與創新四個學習環節的學習資源設計，滿足學生的個性化和選擇性學習需求，讓學生經歷深度學習過程，實現舉一反三穩基礎、觸類旁通明方法、以一當十強技能和知行合一富素養的數學學習目標。

關鍵詞：學習資源;專題學習;方程與不等式

教師在設計學習資源時要遵循學生的認知規律和數學體系構建順序，合理設置學習進程，確保課程目標的整體實現;同時，依據數學概念、原理、公式、法則等知識要素的不同特點，分解學習目標，解析學習目標達成的具體表現，設計豐富的“重關聯、重發現、重創新、重化歸”的學習活動，全面落實“四基”。在實際教學過程中，教師還應避免因“趕進度、加難度”而造成學生數學學習困難和學習負擔加重現象的發生。

易良斌老師在《中學數學研究與引領》一書中提出了“五例—四解—七環”的學習創新設計，為數學專題學習設計提供了可行的路徑。本文以“方程與不等式”專題為例，借鑒“五例—四解—七環”闡述學習設計的基本方法。

一、學習目標定位

（一）知識技能

1.會從定義上判斷方程（組）的類型，并能研究分式方程的增根情況。

2.掌握解方程（組）的解法，理解配方法解一元二次方程，掌握解方程組的實質是“消元降次”“化分式方程為整式方程”。

3.掌握不等式的性質，掌握數字系數一元一次不等式（組）的解法，理解在數軸上表示解集，會求特殊解集。

4.掌握列方程（組）、列不等式（組）解決社會關注的熱點問題。

（二）數學思考

學會獨立思考，體會數學建模、轉化思想。通過對方程不等式相關問題的研究，培養學生的語言組織能力及分析問題、解決問題的能力。

（三）問題解決

1.初步學會用數學的眼光發現問題、解決問題，經歷從不同的角度尋求分析問題的方法的過程。

2.積累分析問題和解決問題的一些經驗，體驗解決同一數學問題的多種方法，發展創新意識。

3.在與他人合作和交流的過程中，能較好地理解他人的思考方法和結論，能針對他人所提的問題進行反思，初步形成評價與反思的意識。

（四）情感態度

1.通過積極參與數學活動，激發對數學的好奇心和求知欲。

2.在數學學習過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。

3.在解決數學問題的過程中，養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，形成實事求是的科學態度。

二、學習內容分析

（一）專題知識結構（由學生根據課本學習線索畫出思維導圖、結構框圖）

（二）高頻考點分析

通多對全國近五年中考試題的分析，我們發現本專題的主要考點有方程的解，解一元一次方程，一元一次方程的應用;二元一次方程組的解法，二元一次方程組的應用;一元二次方程的解法，一元二次方程的應用;解分式方程，分式方程的增根，分式方程的應用;不等式的性質，解一元一次不等式（組），不等式（組）的特殊解，不等式（組）的應用。中考中對方程（組）與不等式（組）的考查基本以客觀題形式呈現，解答題中偶爾有解方程（組）、不等式組或應用題出現，要求相對比較低。

（三）學習重點、難點

學習重點為培養解方程（組）或不等式（組）的能力，綜合運用以上能力解決實際問題。

學習難點是運用方程思想與不等式（組）找到解決綜合問題的突破口。

三、學習資源設計

（一）知識的理解與建構：舉一反三穩基礎

1.例題引導

以下例題旨在把方程（組）、不等式（組）的考點用習題的形式進行羅列，屬于基礎題，要求每一個學生都能掌握。

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程。

分析：此題的考點是一元一次方程的解法，正確掌握解方程的步驟是解題關鍵。此題的整個解題流程給了大家解一元一次方程程序的范例，利用等式的基本性質去分母時，要乘遍每一項，不能漏乘。而得出方程的解后，要有檢驗的良好習慣，此題得出的解其實也是一個反例。

分析：此題的考點是一元二次方程的解法，正確掌握解一元二次方程的一般方法是解題關鍵。此題可以用因式分解法、公式法、配方法等多條途徑解決，是一題多法的范例，題干也給了大家一元二次方程感官上的正例。

正確的解答過程如下：（篇幅所限，詳細解答過程略）

分析：此題的考點是不等式組的解法，正確掌握解一元一次不等式組的一般方法是解題的關鍵。此題首先分別解出兩個不等式的解集，然后用法則（同大取大;同小取小;大小小大取中間;大大小小題無解）或數軸（數形結合思想）兩條途徑解決，是數形結合解不等式組的范例，題干也給了大家一元一次不等式組概念感官上的正例。

例4.（2017廣東）學校團委組織志愿者到圖書館整理一批新進的圖書，若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本;若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本。求男生、女生志愿者各有多少人？

分析：此題的考點是二元一次方程組的應用，設男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根據題意，找到等量關系得出關于x、y的二元一次方程組，這是解決本題的關鍵。此題給了大家列方程（組）、不等式（組）解應用題的范例，也給了大家解二元一次方程組的正例，在解決問題的過程中，建議大家先獨立完成，然后進行合作交流、共同研討，尋找解決此題過程中具有等量關系的反例和正例，尋找是否有解決此題的特例、是否有解二元一次方程組的錯例。

2.學習建議

對于一個數學定義、原理、事實、公式、法則、定理、問題等，我們常常可以從范例、正例、特例、反例、錯例五個不同的視角去舉例，這樣能夠讓我們系統地去理解、完整地去把握、規范地去應用這些知識。

（二）方法剖析與提煉：觸類旁通明方法

1.例題引導

解析：本題的關鍵是先求出每個不等式的解集，然后根據法則或數軸求出兩個解集的公共部分，即此不等式組的解集，最后根據要求，利用數的大小比較方法求出正確答案。

解法：利用不等式的基本性質、解不等式組的基本步驟，采用法則或數軸解決數學問題。

解釋：此題的考點是求不等式組的特殊解，在考試大綱中的要求是掌握和應用。從近五年杭州中考來看，杭州對于不等式組的要求相對較低，屬于較容易的類型，尤其是出現在解答題中是比較少的。此種類型的題目易錯點一個在于不等式兩邊同時乘以一個負數時，不等號需要改變方向，還有一個在于求最大負整數解時負數大小比較的漏洞，建議利用數軸輔助求最大負整數解，正確率會提高不少。

解析：解決本題的關鍵是理解這個新概念，將陌生的運算符號轉換為熟悉的運算符號，第一小題根據新定義列出關于x的方程，解之可得;第二小題根據新定義列出關于x的一元一次不等式，解之可得。

解法：多種方法解一元二次方程，解一元一次不等式，實數的運算。

解釋：此題的考點是一元二次方程的解法、一元一次不等式的解法，這兩個考點都不難，關鍵在于學生的閱讀能力和理解問題、解決問題的能力，建議平時注重數學知識的生長力，培養對新問題的轉換能力，達到碰到新問題可以化歸和關聯。

（2）歸納：若x取任意實數，x2+1與2x有怎樣的大小關系？試說明理由。

解析：此題的考點是代數式的大小比較，給了大家一條代數式大小比較的路徑，可以根據特例得到經驗，從特殊到一般得到結論，通過完全平方公式得到論證，最終得出正確答案。

解法：求代數式的值，有理數大小比較，完全平方公式，配方法等。

解釋：此題考查了配方法的應用，利用完全平方非負數的性質是解題關鍵，經歷代數式比較大小的一般路徑，體驗從一般到特殊、再從特殊到一般的數學解題策略。

例8.（2020揚州）閱讀感悟：

有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：

已知實數x、y滿足 3x-y=5 ①，2x+3y=7 ②，求? x-4y和7x+5y的值。

解答本題的常規思路是將①②兩式聯立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數式得到答案。常規思路運算量比較大。其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值，如由①-②可得 x-4y=-2，由①+②×2? 可得7x+5y=19。這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”。

解決問題：

（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

（3）對于實數x、y，定義新運算：x*y=ax+ by+c，其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算。已知? 3*5=15，4*7=28? ，那么1*1=? _______。

即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值;（2）設每支鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，根據題意列出方程組，根據（1）中的“整體思想”，即可求解;（3）根據x*y=ax+by+c，可得3*5=3a+5b+c=15，4*7=4a+7b+c=28，1*1=a+b+c，根據“整體思想”，即可求得a+b+c的值。

解法：解方程組的方法有消元法、整體法;利用方程組解應用題的基本方法，理解新定義。

解釋：不少學生依然會利用解方程組的基本方法——消元法來解決此題。從解本題的背后，我們發現利用“整體思想”解二元一次方程組的魅力所在。數感和直觀能力對孩子們解決問題至關重要。仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題可以通過適當的變形，整體求得代數式的值，引入新運算，根據新定義、結合“整體觀”求代數式的值。

2.學習建議

對于數學問題的理解，我們建議可以分為四個階段，即解答、解析、解法、解釋。解答就是我們想方設法把答案弄出來，是解析的基礎;解析就是將解答的步驟劃分成若干個獨立的、均有明確目的的階段，然后將每個階段最優化，是解法的立腳點;解法是解析的拓展，一題多法，將數學題目讀厚，達到做一道題、練一類題、解決一框知識點的目的，是解釋的積累過程;解釋是最神秘的階段，當我們掌握了很多解法以后，去整合它們，萬法歸一，將題讀薄。不同的人悟道的方式大不相同，但最后都能找到相同之處。

（三）能力訓練和拓展：以一當十強技能

1.基礎演練

精心編寫配套練習題，從全國近幾年的中考試題、自主招生試題、競賽試題中精選5～8個題目，其中選擇、填空3～5題，解答2～3題。題組后面附上參考答案和解題提示。（限于篇幅，選題及解析略）

2.學習建議

建議在完成這些問題的時候，關注用“五例”學習法去理解這些數學問題，用“四解”訓練法去分析這些問題。如果不能獨自解決這些問題，可以參考課本導航，進一步思考;也可以和同伴合作，進行智慧的碰撞;也可以通過這些問題的解決寫下一些數學日記，積累更多的數學解題經驗，那樣你會更優秀。

（四）綜合應用與創新：知行合一富素養

1.問題提出

問題：已知關于x的一元二次方程

2.七環引領

第一環：分析問題，尋找聯系。

（1）由于k為此方程的一個實數根，故把k代入原方程，即可得到關于k的一元二次方程。①把k=m代入關于k的方程，即可求出m的值;②由于k為原方程的非零實數根，故把方程兩邊同時除以k，便可得到關于y與m的關系式。

（2）先求出根的判別式，再根據m的取值范圍討論△的取值即可。

第二環：嘗試建模，探究問題。

根據第一環的分析，（1）根據方程根的定義建立“代入法”解題模型和根據題意建立相關函數模型;（2）一元二次方程根的情況和根的判別式△的取值的相關模型。

第三環：求解問題，策略解決。

根據一環的分析和二環的探究，可以得出如下解題方案（解題過程略）。

第四環：檢驗結果，反思問題。

對該問題的解決結果進行反思，考慮是否有其他途徑或是否可以另辟蹊徑。例如，針對第二小題：

∵ 該函數的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，

∴ 該拋物線必與x軸有兩個不同交點。

∴ 當

解法三：和一元二次方程的根有關的問題往往可以借助于二次函數圖象解決，數形結合使問題簡化。

第五環：交流評價，提升價值。

反思眾多解決問題的途徑和模型，通過和同伴對各種方法進行評價，進一步完善解題思路，尋找最佳的方法，記住：符合自己的，就是最好的方法。

第六環：引申推廣，類比遷移。

解決問題后，我們思考這個問題是否可以進行推廣，建立模型，增強輻射能力。

模型1：一元二次方程根的情況和根的判別式△的取值有關的基本模型。

模型2：二次函數圖象和一元二次方程根的情況的數形結合模型。

模型3：用函數模型考慮根的判別式△符號，進而判斷一元二次方程根的情況的結合模型。

第七環：拓展應用，創新問題。

將此問題進一步拓展，創新問題。例如，將原題中的條件“一元二次”去掉，拓展為如下情況：

已知關于x的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0（其中m為實數）

（1）請取兩個特殊的m的值代入，得到兩個不同類型的方程，并求這兩個方程的解。

（2）若y=（m-2）x2-（m-1）x，請證明無論m取任意實數，函數圖象都經過兩個定點。

3.學習建議

這個板塊建議學有余力的學生嘗試解決。對于綜合數學問題的解決，我們可以嘗試“七環”探究法，將數學問題緊密聯系生活問題。我們按照“分析問題，尋找聯系—嘗試建模，探究問題—求解問題，策略解決—檢驗結果，反思問題—交流評價，提升價值—引申推廣，類比遷移—拓展應用，創新問題”七個環節，探索出一條良好的解決路徑。“七環”探究法的應用，可以讓我們在解決問題時經常有“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的驚嘆。

四、學習設計反思

（一）進一步認清學習設計的教學意義

學生學習的最終目的并不是掌握已有的知識，而是為了進入社會實踐、參與社會實踐。因此，在學習中，學生就要以明辨是非、獨立思考的方式，把人類已有的實踐成果轉化為自身將來參與社會實踐的能量。學生學習的過程不僅僅是學習知識，甚至學習知識本身都是手段，目的在于使學生能夠作為主體參與社會實踐，了解并認同知識背后所蘊含的價值。在這一過程中，學生需要全身心投入，深刻地去理解、領會、評判、體驗、感受“活”的、“動”起來的知識，理解知識最初發現時人們面對的問題、解決問題的思路、采用的思維方式、思考過程，理解知識發現者可能有的情感，判斷評價知識的價值。只有經歷這樣的過程，知識才可能通過學生的主動操作活化為學生的精神力量，轉化為學生認識世界的方式，學習的過程才能成為學生成長發展的過程。

（二）進一步認清學習內容的邏輯關系

學習內容并不能直接轉化為學生的精神力量，必先轉化為學生能夠進行思維操作和加工的教學材料，成為學生的學習對象。也就是說，學習材料所蘊含的不只是通常所說的知識，也有知識背后的情境、情感、情緒、價值觀、思想過程、思維方式等。而學習內容只是學生深度操作、加工教學材料之后獲得、體會、掌握了的東西而已。因此，從學習內容到學習材料的轉化就是教師的核心工作，教師對于知識背后所蘊含的價值的認識水平就成為這一工作的關鍵。

（三）進一步認清學習引導的教學價值

教師的教學意識與能力水平，決定著學生能否發生深度的學習。教師與學生的深度學習是相互成就的。所謂“學然后知不足，教然后知困”，沒有好的學習設計，不可能有學生的深度學習;同樣，在不斷引發學生深度學習的過程中，教師也得到持續的發展。這樣的學習設計，才能真正促進學生成長，也使教師成為成就自己、實現自己存在價值的教師。

（本文為浙江省易良斌名師工作室2020特色研究項目“2020初中數學思想方法與解題策略選講”的主要成果之一）

參考文獻：

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[4] 郭華.深度學習及其意義 [J].課程.教材.教法，2016（09）.

（責任編輯：吳延甲）