基于圖形計算器開展高中數學實驗探索

李峰 高學

摘? 要 圖形計算器被稱為移動的數學實驗室，為學生動手操作實驗學習數學，提供了極大的便利。從教學實踐出發，對基于圖形計算器的高中數學實驗進行探索，以期為一線教學提供參考和幫助。

關鍵詞 圖形計算器;高中數學;數學實驗;核心素養

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）07-0123-03

1 前言

《普通高中數學課程標準》提出，學生需要具備六大核心素養，分別是數學抽象、數據分析、數學建模、數據運算、直觀想象。圖形計算器的出現，為學生的數學核心素養培養提供了保障。借助圖形計算器，學生可以自主進行觀察、操作、分析、比較。為此，在今后的高中數學教學中，教師有必要對基于圖形計算器開展數學實驗進行更加深入的探索。

2 基于圖形計算器的曲邊圖形面積實驗

“曲邊圖形面積”是高中數學教學中比較有代表性的數學實驗。在這一數學實驗中，圖形計算器的運用，可為學生的實驗學習創造便利。筆者舉這樣一個例子：

向長方形ABCD區域內隨機撒N粒豆子（假設每一粒豆子都可以落到長方形區域內。同時，陰影區域內豆子數只與區域大小有關，與區域位置形狀無關），試問如何求概率P？具體詳見圖1。

在面對這一問題時，學生很容易想到用豆子落在陰影區域內的頻率表示概率，這樣這一實驗問題就被轉換為“如何求豆子落在陰影區域內的頻率”。此時學生就會有這樣的猜想，即通過“撒豆子”實驗，通過對實驗數據的記錄，將頻率“數出來”。但是很顯然，這一實驗操作是存在一定困難的，不僅操作過程煩瑣，還容易出現記錄錯誤問題。此時，圖形計算器就成為學生實驗中可借助的工具。

如在筆者執教的班級中，通過學生之間的相互討論合作，做出基于圖形計算器的“曲邊圖形面積”實驗方案設計：

1）借助圖形計算器工具，在[-1，1]和[0，1]區域之間，選取兩個隨機數A和B，并構建坐標點（A，B）代替實驗操作中的豆子;

2）若是選取的點（A，B）滿足A2≤B的實驗條件，就表示撒落的豆子落到了陰影區域內;

3）在完成操作“撒落N個豆子”的實驗過程中，統計落在陰影區域中的豆子數，并將其記做K;

4）使用落在陰影區域內的“豆子”的頻率作為概率，通過K/N≈S陰影/S矩形ABCD，從而得出關系式S陰影≈K/N×S矩形ABCD=2K/N[1]。

上述提及的問題被學生圓滿解決。但由于這一實驗操作還存在一定的困難，為此在實驗教學過程中，教師可以對學生做進一步的引導，讓學生試想還有沒有更為簡單的實驗方法并大膽提出來。通過深入思考，又有學生提出實驗方案，具體流程步驟如下。

1）由于圖形計算器工具可直接產生[0，1]區域隨機數，這樣就可以將原圖的陰影面積轉化為圖2陰影面積乘以2。

2）利用圖形計算器工具圖形繪制功能，就可以對正方形ABEO和落在區域陰影面積的點（A，O）進行繪制，從而使“撒落N個豆子”的實驗過程變得更加形象直觀。

3）利用圖形計算器工具中的內部程序模式，將上述提及的步驟方案編制成特定的程序，這樣圖形計算器工具就可以進行自動化的實驗操作，具體如圖3所示。

通過上述實驗，學生可以得出幾種結論。

1）當豆子數N為500時，程序結果為陰影部分面積的估計值（即x=1，y=x2圍成的面積），這樣當N被不斷放大時，面積的近似值就會無限接近4/3，由此就可以得出：

2）在本實驗中，若是將預先的實驗條件A2≤B改為A2=B，圖形計算器結果則顯示S=0，而這就表示當豆子落在曲線y=x2方程的第一象限時，概率的近似值為0，但這并不表示豆子不會落在這一曲線上，因此可以說明概率為0的事件不一定是不可能事件。

3）通過這一實驗操作，學生還會得到這樣的啟示：通過幾何概型、隨機模擬的方式，可以對近似不規則的曲線圖形面積進行計算。借助圖形計算器工具，使復雜的“曲線圖形面積”計算變得簡單，彰顯出圖形計算器在高中數學實驗教學中的應用價值。

3 基于圖形計算器的概率實驗

概率是學生在高中階段學習的重要數學知識，為更好地幫助學生加深對概率知識的理解，實驗操作是不可或缺的。而與概率有關的數學實驗就可以利用圖形計算器開展。以探究班級中學生兩人生日在同一天的概率為例，在實驗開展前，教師可以通過導入：“我們班有50名學生，老師相信你們其中一定有至少兩人生日是同一天的。”很多學生表示不相信，認為這樣的概率非常小。而此時教師就可以趁機引導學生：愿不愿意通過實驗操作的方式，否定老師提出的想法？此時學生實驗學習探究的積極性被調動，并積極踴躍地參與到實驗探究中來。

在班級學生探究思考過程中，有學生提出這樣的想法：“班級同學生日的結果是有限的，可在任何一天，因此，這一實驗問題符合古典概型條件，可將其視作古典概型問題。”在這一猜想下，就有學生進一步指出可采用投硬幣的實驗方式，去進行班級中學生兩人生日在同一天的概率實驗。如可以進行數據調查，把班級學生的生日都統計一遍，就可以得到該事件發生的頻率。這樣的實驗方案的確是可行的，但問題是操作較為麻煩。對此，教師可以引導學生：是否可以使用圖形計算器設計更為簡單的實驗方案？在這樣的引導下，就有學生做出實驗設計，具體步驟如下。

1）將[1，365]作為N個隨機數的產生區間，并以此代表班級所有學生的生日。

2）在N個隨機數中，若是有相鄰的兩個數相同，那么就表示班級之中有至少兩個學生的生日是相同的，這樣就可以驗證實驗的猜想，并將其記為K+1。

3）使用圖形計算器重復進行這樣的實驗操作M次，最后記錄實驗成功的次數K，并與實驗操作次數M進行比值計算，所得到的最終數據就為班級中學生兩人生日在同一天的概率。

利用圖形計算器工具中的內部程序模式，將上述提及的步驟方案編制成特定的程序，這樣圖形計算器工具就可以進行自動化實驗操作，具體如圖4所示。

而通過上述實驗，學生可以得出以下結論。

1）假設該實驗進行200次操作，即M=200，圖形計算器顯示結果，若是一個班級中的學生人數超過24人，班級中學生兩人生日在同一天的概率要超過此次事件不可能發生的概率;而若是班級中的學生人數超出40人，則此事件的發生概率有90%的可能;而若是班級中的學生人數超過50人，那么這一事件則一定可能發生，因此，教師所作出的假設猜想是對的。

2）實驗操作次數M不斷增加，事件發生的頻率就會越趨近于概率，其中P=。

4 基于圖形計算器的割圓術驗證實驗

割圓術是中國古代數學家提出的一種求圓周率的猜想算法，最早是由魏晉時期的數學家劉徽提出的（公元263年），主要是通過圓內接正六邊形的方式，無限地進行分割，從而最大限度地趨于接近圓的面積，這樣就可以獲得圓周率。其后，南北朝時期著名數學家祖沖之進一步對割圓術進行研究，并將圓周率精確到小數點后七位，而這一演算結果是早于歐洲的，足以證明我國古代數學家的智慧[2]。

在古代，由于條件的限制，割圓術還只是一種猜想;但在當下，尤其是隨著圖形計算器的出現，只需要輸入相關的數據，就可以進行自動化的分割操作。這為數學實驗教學創造了極大的便利，同時可以進一步幫助學生認識數學文化價值，促使學生的數學核心素養得到有效培養。筆者在執教過程中就曾從割圓術出發，為學生布置相關的實驗任務，并引導學生使用圖形計算器工具探索解決。

然后，教師可以帶領全體學生對π的數學模型計算公式進行分析，并使用循環的術語進行表達，學生就會發現割圓術計算的是圓內接正六邊形、內接正十二邊形……內接正n邊形可表示為6×2N。然后利用圖形計算器工具中的內部程序模式，將上述提及的步驟方案編制成特定的程序，就可以得到最終的實驗結果，具體如圖6所示。

而通過上述實驗，學生可以得出如下結論。

1）當設定N=5時，圓內接正多邊形數可達到192，這樣可以得到π=3.14，就得到數學家劉徽得出的計算結果，即“徽率”。而當圓內正接多邊形達到24 576時，就可以得到π=3.141 592 6，這是祖沖之計算出的圓周率。現下使用圖形計算器，很輕松地得出這樣的計算結果，但是早在千百年前，在計算工具極為簡陋的情況下，我國的數學家可以得到這樣的計算結果，體現了我國古代先進的數學水平。

2）當圓的內接正多邊形無限逼近于圓的面積時，圓的外接多邊形的周長也越趨于圓的周長，而這是古希臘數學家阿基米德提出的窮竭法。借助圖形計算器，對割圓術與窮竭法進行比較，是中外數學文化研究智慧碰撞的體現。

5 結語

圖形計算器在高中數學教學中的應用是教學現代化的重要體現，符合課程標準提出的“信息技術與數學課程深度融合”的要求。學生在手持使用圖形計算器的過程中，在做中學習數學知識，這就為教學效率的提升及學生數學核心素養的培養發展提供了保障。為此，在今后的高中數學教學中，教師應對基于圖形計算器的數學實驗開展進行深入探索。

參考文獻

[1]高鵬，李師師，常磊.基于圖形計算器開展高中數學實驗探索[J].中國數學教育：高中版，2019（1）：11-14.

[2]陸高平.利用圖形計算器開展數學實驗的實踐探索[J].數學之友，2016（8）：69-70.