明確三條主線，攻克高考復數

■廣東省梅縣東山中學 鐘國城

復數是高考數學的必考內容，其在高考數學試題中主要以選擇題、填空題的形式出現，試題難度為基礎或中等，主要考查基本概念和運算，考查同學們對數學知識的理解與運算求解能力。高考數學對復數的考核要求是：理解復數的基本概念；了解復數的代數表示及其幾何意義；會進行復數代數形式的四則運算。因此，復數主要考查復數的基本概念、復數的幾何意義、復數代數形式的四則運算等內容。

一、明確三條主線

1.考查復數的基本概念

這部分內容主要考查復數的分類、復數相等及共軛復數等相關知識，試題常常與復數的運算相結合，一般屬于基礎題范疇。

例 1（2020年武漢質量檢測）已知復數z=（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則a=（ ）。

解析：由題可得，z=（1+2i）（1+ai）=1+ai+2i+2ai2=1-2a+（a+2）i，則a+2=0，即a=-2。故選D。

例 2（2020年廈門質量檢測）若復數為虛數單位）是純虛數，則實數a的值為（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：由題可得=0，即a=2。故選D。

評注：上面兩個題目均以復數的分類為背景，考查復數的基本概念與運算法則，難度不大，求解方法也比較常規。事實上，對于復數的分類有如下兩個結論：①（a+bi）（c+di）為實數為實數?ad+bc=0；②（a+bi）（c+di）為純虛數為純虛數?ac-bd=0。利用上述兩個結論，可以快速得到答案，如例1，根據結論①，得a+2=0，即a=-2；例2，根據結論②，得a-2=0，即a=2。

例 3（2020年河南6月大聯考）已知復數z1=1+i，z2=1-i，若3-2i=mz1+nz2（m，n∈R），則mn=（ ）。

解析：由題可得，mz1+nz2=m（1+i）+n（1-i）=m+n+（m-n）i=3-2i，根據復數相等的充要條件，得故選D。

評注：此題考查復數相等的充要條件與運算法則，需要注意的是復數雖不能比較大小，但可以相等，兩個復數相等的充要條件是兩個復數的實部、虛部分別相等。

例 4（2020年福州質量檢測）若z=1+i，則=（ ）。

A.0 B.2 C.2i D.-2i

解析：由題可得，故選D。

評注：此題考查共軛復數與運算法則，兩個復數互為共軛復數即兩個復數的實部相等、虛部互為相反數。事實上，兩個互為共軛復數有這樣一個性質對于此題，可利用此性質進行求解。

2.考查復數的幾何意義

這部分內容主要考查復數的代數表示及其幾何意義，代數形式的復數在復平面上用點或向量表示，復平面上的點或向量所對應的復數可用復數的代數形式表示，復數的模等相關知識，試題以基礎題或中等題為主。

例 5（2020年貴陽一模）復數z=（i是虛數單位）在復平面內所對應的點位于（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：由題可得2+i，則在復平面內所對應的點為（2，1），即在第一象限。故選A。

例 6（2020年北京卷）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1，2），則i·z=（ ）。

A.1+2i B.-2+i

C.1-2i D.-2-i

解析：由題可得，z=1+2i，則i·z=i（1+2i）=-2+i。故選B。

評注：上述兩題考查復數的幾何意義，即代數形式的復數與復平面的點的對應關系。對于例5，也可以利用結論（1±i）2=±2i進行求解。另解：根據上述結論，得=2+i，易得答案為A。

3.考查復數代數形式的四則運算

這部分內容主要考查復數代數形式的加、減、乘、除四則運算及加法、減法的幾何意義等相關知識，屬于簡單題。

例 7（2020年洛陽二測）已知復數z滿足z（1-i）=2，其中i為虛數單位，則z-1=（ ）。

A.i B.-i

C.1+i D.1-i

解析：由題可得所以z-1=i。故選A。

評注：此題考查復數的除法運算，考查同學們的計算能力。復數的除法法則類似于分母有理化運算，其實就是利用性質將分母中的復數轉化為實數，可以稱之為“分母實數化”。另外，此題也可利用復數相等的充要條件及結論（1+i）（1-i）=2進行求解。另解一：設z=a+bi，a，b∈R，則z（1+i）=（a+bi）（1-i）=a+b+（b-a）i=2，所以故z=1+i，所以z-1=i。另解二：根據結論（1+i）（1-i）=2，得z（1-i）=2=（1+i）（1-i），則z=1+i，所以z-1=i。

二、攻克高考復數

1.回歸教材，夯實基礎

復數是基礎內容，考查形式穩定，因此，在復習時，同學們需認真回歸教材，以上述三條主線為指導，從整體上認識相關知識，把握重點內容，掌握教材中出現的例題、習題，達到融會貫通。

2.重視概念，小題小做（或巧做）

數學是玩概念的，復數更是如此，在復習時，圍繞上述三條主線，學會表達，學會說題，做到能夠陳述并理解重要的概念。復數均以小題出現，且難度較小，因此，更要強化利用概念指導解題的意識，重視相關結論與性質的應用，做到小題小做，甚至是巧做。

3.活用思想，靈活解題

在復習中應強化對問題的分析，學會運用數學思想方法解決問題，優化解題思路，例如，復數的加法、減法與乘法運算類似于多項式的運算，復數的除法運算類似于分母有理化（其實可以稱為“分母實數化”），做到減少出錯的可能，提升分析問題、轉化問題、解決問題的能力，達到靈活解題的目的。