舊貌換新顏，聚焦新高考
———二項式定理創新題解析

■江蘇省錫東高級中學 曲 婷

二項式定理是高考必考的考點，主要考查二項式展開式的項、項數、系數、指數等內容之間的聯系；除了注重考查二項式定理的基本運用，與之相關的創新題型成為高考的新熱點，重點考查多個知識交匯的靈活運用。

創新題型一：題目背景延伸

二項式定理在高考中多以基礎題居多，因此在題目設置中會以其他知識點為背景切入，將多個基礎知識融合在一起進行考查。例如：復數、數列、排列組合、概率等。

例 1（2020年日照模擬）設i為虛數單位，則（x+i）6的展開式中含x4的項為____。

解析：二項式（x+i）6的展開式的通項公式為，令6-r=4，得r=2，則展開式中含x4的項為。

點評：本題以復數知識為背景，考查二項式定理的基本應用，即利用二項式展開式的通項公式求展開式中的指定項問題。

例 2（2020年青島模擬）已知a∈N，二項式的展開式中含有x2項的系數不大于240，記a的取值集合為A，則由集合A中的元素構成的無重復數字的三位數共有____個。

解析：二項式的展開式的通項公式為令6-2r=2，求得r=2，可得展開式中含有x2項的系數為。

根據含有x2項的系數不大于240，可得15（a+1）2≤240，求得-5≤a≤3。

再根據a∈N，可得a=0，1，2，3，即A={0，1，2，3}，則由集合A中的元素構成的無重復數字的三位數共有18（個）。

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，二項式系數的性質，排列組合的應用，屬于中檔題。

本源：通過以上兩個例題，不難發現題目背景可以有很多種，但究其根本，此類問題皆源自于“人教版教材選修2-3第一章1.3.1二項式定理例2”，其本質是考查求展開式中的指定項系數、指定項問題，要求能夠正確使用二項式展開式的通項公式進行解題。

創新題型二：解題思維延伸

二項式定理是以多項式乘法原理為基礎，研究n個（a+b）相乘即（a+b）n展開式的結果，在此基礎上，可以利用其原理進一步研究n個（a+b+c）相乘即（a+b+c）n的結果、（c+d）（a+b）n展開式的結果等類似問題。

例 3（2020年興寧期末）已知隨機變量X～N（1，σ2），且P（X≤0）=P（X≥a），則的展開式中x4的系數為（ ）。

A.680 B.640 C.180 D.40

解析：因為隨機變量X～N（1，σ2），且P（X≤0）=P（X≥a），所以a=2，代入可得，其展開式中含x4的項=40x4+640x4=680x4，所以展開式中x4的系數為680。

點評：本題考查正態分布曲線的性質，二項式展開式的通項公式，同時考查同學們的邏輯推理、數學運算等學科素養。

例 4（2020年廣東二模）（x+y+2）6的展開式中xy3的系數為（ ）。

A.120 B.480 C.240 D.320

解析：把（x+y+2）6的展開式看成6個因式（x+y+2）的乘積形式，從中任意選1個因式，這個因式取x，再取3個因式，這3個因式都取y，剩余2個因式取2，相乘即得含xy3的項。故含xy3項的系數為。

點評：本題考查了排列組合與二項式定理的應用問題，是一道綜合性很強的題目。

本源：這兩個例題仍然是源自于“人教版教材選修2-3第一章1.3.1二項式定理例2”，例3的改編是將一個二項式展開式問題轉化為兩個二項式相乘的問題；例4其本質仍舊是多項式乘法原理及二項式展開式的通項公式的應用。

創新題型三：題目形式延伸

除了在題目背景和題目思維上的延伸，以考查二項式定理為主的題目形式也有新的改編。題目形式不再單一地以已知概念為背景，逐步出現借助二項式定理處理新定義問題；也不再僅僅以選擇、填空題的形式出現，逐步出現融合二項式定理的解答題形式。

例 5（2020年綿陽模擬）我們把數列叫作“互為隔項相消數列”，顯然an+bn∈Z。已知數列{cn}的通項公式為cn=表示不超過實數x的最大整數，則c2020除以4的余數為（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由二項式定理可設其中xn，yn∈N*，由題意可得，其中xn，yn∈N*，則=（2-1）2n=1，所以。

因為xn＞1，所以即有[xn+。

點評：本題以二項式定理為背景進行新定義，根據二項式展開式的結構特征設定展開式結構，即可順利得出答案。

本源：利用二項式定理解決整除和余數問題，是高考中的常見題型；但是大多以實數進行拆合相關數的方式借助二項式展開式的某幾項來計算余數。此題中新定義了一個二項式展開式的結構特征，借助定義及類似于二項式展開式的通項公式的特征，順利計算得出結果。

例 6（2020年青島模擬）已知（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），的前n項和為Tn。當時，求n的最小整數值。

解析：因為（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），令x=1，可得2n=a0+a1+a2+…+an，所以Sn=a0+a1+a2+…是首項為，公比為的等比數列，故Tn=。

點評：本題主要考查二項式定理及等比數列的前n項和，是對知識的綜合考查?？疾榱说葍r轉化思想及數學基本運算能力。

本源：二項式系數和與數列的前n項和的求解都是高考中的常見熱點問題，本題利用二者與n的關系，巧妙地將兩個知識點結合在一起，目的在于考查處理數學問題的轉換能力和綜合能力。

題目可以是多源化的，但究其根本就是最基礎的知識換個新的方式呈現；所謂萬變不離其宗，無非是舊貌換新顏，抓住本質，一切便可迎刃而解。