高考全國卷二項式定理命題動向分析

■廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) 潘敬貞

二項式定理是高中數(shù)學(xué)中計數(shù)原理與多項式的概念及性質(zhì)緊密聯(lián)系的內(nèi)容，該內(nèi)容一直深受高考命題專家的青睞，一時成為高考熱門考點(diǎn)之一，主要考查二項式展開式的通項公式，求指定項的系數(shù)等有關(guān)問題，下面針對近年來全國卷有關(guān)二項式定理的試題，分析其考查特點(diǎn)及高考動向透視，主要目的是幫助同學(xué)們梳理二項式定理相關(guān)的必備知識、核心考點(diǎn)，讓同學(xué)們了解該內(nèi)容的命題動向，把握好高考方向，提高備考效益。

一、試題特點(diǎn)分析

在多年的高考全國卷中，二項式定理都是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，多數(shù)為容易題或中檔題。試題主要考查二項式展開式的通項公式，包括求展開式的指定項有關(guān)問題，特別關(guān)注兩個多項式乘積展開式中的指定項。年年歲歲花相似，歲歲年年題不同，試題千變?nèi)f化，但考查的重心主要落在通項公式的正向與逆向的應(yīng)用上。

二、考查問題分析

對近幾年高考全國卷的分析可以看出，二項式定理是高考必考的內(nèi)容之一，考查的題型和分值較為穩(wěn)定。高考考查的問題主要圍繞著二項式展開式進(jìn)行提問，包括求指定項的系數(shù)、常數(shù)項、系數(shù)最大項、奇（偶）數(shù)項、部分項或所有項的系數(shù)之和等問題，尤其要關(guān)注兩個二項式的積轉(zhuǎn)化為二項式問題，偶爾也考查三項式展開式的指定項問題或?qū)⑷検睫D(zhuǎn)化為二項式問題等，在此過程中考查二項式展開式的有關(guān)概念、性質(zhì)的理解和運(yùn)用，考查分析問題與解決問題的能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，考查分類討論思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、高考透視

1.二項式展開式中指定項問題

（1）求二項式展開式中指定項的系數(shù)。

例 1（2018年全國Ⅲ卷理5）的展開式中x4的系數(shù)為（ ）。

A.10 B.20 C.40 D.80

解析：由二項式展開式的通項公式得第r+1項依據(jù)題意可令x的指數(shù)10-3r=4，得r=2，所以x4的系數(shù)為。

評注：本題主要考查二項式定理的基本概念，考查分析問題與解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)等，屬于容易題。

例 2（2014年全國Ⅱ卷理13）已知（x+a）10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則。

解析：由二項式展開式的通項公式得第r+1項依據(jù)題意可令x的指數(shù)10-r=7，得r=3，所以=15x7，因此可得關(guān)于參數(shù)a的方程為。

評注：本題是逆向應(yīng)用二項式展開式的通項公式列關(guān)于參數(shù)a的方程，再通過解方程即可求出參數(shù)a的值。

（2）求二項式展開式中的常數(shù)項。

例 3（2020年全國Ⅲ卷理14）的展開式中的常數(shù)項是____。

解析：由二項式展開式的通項公式得第r+1項2rx-r=Cr62rx12-3r，依據(jù)題意可令x的指數(shù)12-3r=0，得r=4，所以的展開式中的常數(shù)項為。

思考：針對“二項式展開式中指定項問題”，除了“通項公式法”，還可以用“指數(shù)分配法”。我們可以將（a+b）n展開式中的通項公式理解為第r+1項中a的指數(shù)n-r和b的指數(shù)r是由（a+b）n中的指數(shù)n分配得到的。如例1要求的展開式中x4的系數(shù)，首先需要思考怎樣產(chǎn)生x4的項，如何將指數(shù)5分配給x2和的指數(shù)，當(dāng)x2分得的指數(shù)為3和a分得的指數(shù)為2時展開式中產(chǎn)生x4的項，即C25（x2）3，所以x4的系數(shù)為40。

解決二項式展開式中指定項問題，通項公式法是通解，但指數(shù)分配法更靈活巧妙，達(dá)到小題快解的目的，利用指數(shù)分配法對二項式定理本質(zhì)的理解及數(shù)學(xué)運(yùn)算等要求比較高，只有熟練掌握二項式定理并具有較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力方可達(dá)到指數(shù)分配法的核心要求。

2.二項式展開式中二項式系數(shù)最大值問題

例 4（2013年全國Ⅰ卷理9）設(shè)m為正整數(shù)，（x+y）2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，（x+y）2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b。若13a=7b，則m=（ ）。

A.5 B.6 C.7 D.8

解析：由二項式展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)可得又因為13a=7b，所以解得m=6。

評注：解決本題的關(guān)鍵是二項式系數(shù)的性質(zhì)“二項式展開式中最中間項的二項式系數(shù)最大”，同時結(jié)合13a=7b可列關(guān)于參數(shù)m的方程，再通過解方程即可求出參數(shù)m的值。

3.二項式展開式中奇（偶）數(shù)次冪項問題

例 5（2015年全國Ⅱ卷理15）已知（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a=____。

解析：由二項式定理得（1+x）4=1+4x+6x2+4x3+x4，所以（a+x）（1+x）4=a（1+x）4+x（1+x）4=a（1+4x+6x2+4x3+x4）+x（1+4x+6x2+4x3+x4）=a+（4a+1）x+（6a+4）x2+（4a+6）x3+（a+4）x4+x5，故（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為（4a+1）x，（4a+6）x3，x5，其系數(shù)之和為（4a+1）+（4a+6）+1=32，解得a=3。

評注：處理此類問題的方法一般是運(yùn)用二項式定理將其中一個因式展開，然后將兩個乘積展開，即可得出要研究的項。

4.將兩個二項式的積轉(zhuǎn)化為二項式問題

例 6（2020年全國Ⅰ卷理8）的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）。

A.5 B.10 C.15 D.20

解析：由于要求x3y3的系數(shù)，只需分別求的展開式中x3y3的系數(shù)。要求x（x+y）5的展開式中x3y3的系數(shù)，只需求（x+y）5的展開式中x2y3的系數(shù)即可，根據(jù)指數(shù)分配法可知，當(dāng)x分得的指數(shù)是2，y分得的指數(shù)是3時即可得含x2y3的項，即 C35x2y3，所以x（x+y）5的展開式中含x3y3的項為xC35x2y3，即10x3y3；同理，要求的展開式中x3y3的系數(shù)，只需求（x+y）5的展開式中x4y的系數(shù)即可，根據(jù)指數(shù)分配法可知，當(dāng)x分得的指數(shù)是4，y分得的指數(shù)是1時即可得含x4y的項，即的展開式中含x3y3的項為所以的展開式中的含x3y3的項為10x3y3+5x3y3=15x3y3，所以展開式中x3y3的系數(shù)為15。

二項式定理考查的題型比較穩(wěn)定，試題難度不大，多數(shù)為容易題或中檔題。同學(xué)們要理解好二項式定理的本質(zhì)內(nèi)涵及蘊(yùn)含的思想方法，熟練掌握二項式定理的通項公式正向、逆向的應(yīng)用。針對考查的問題，選擇典型的試題通過訓(xùn)練掌握好其解決的方法，從而提高數(shù)學(xué)解題能力，最終達(dá)到提高備考效率的目的。