復數解題常見錯誤分析

■江蘇省錫東高級中學 華 濱

復數是數系在中學階段的最后一次擴充，在高考中常以選擇題和填空題的形式出現，考查難度相對比較基礎，但是也會因為基本概念不清晰、基本運算不扎實、幾何意義不明確等多種原因出現一些所謂的低級錯誤。本文就此對復數中的典型錯誤進行了梳理剖析，希望對同學們的學習能有所幫助。

一、概念不清而導致錯誤

例 1（2020年深圳一模）已知復數z=i2019+i2020（i為虛數單位），則z的共軛復數=（ ）。

A.-1+i B.1-i

C.1+i D.-1-i

錯解：選A。

剖析：本題錯誤的原因主要是對于共軛復數的概念不清楚。一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數，即復數z=a+bi（a，b∈R）的共軛復數為z=a-bi（a，b∈R）。

正解：因為z=i2019+i2020=（i2）1009·i+（i2）1010=-i+1，所以z的共軛復數為1+i。故選C。

例 2（2020年全國名校高三模擬）若復數z滿足i（z+2）=-2+3i（i為虛數單位），則z的虛部為（ ）。

A.i B.2i C.1 D.2

錯解：選B。

剖析：本題錯誤的原因主要是對于實部、虛部的概念不清楚，虛部究竟帶不帶i，是很容易出錯的地方。復數z=a+bi（a，b∈R），其中a與b分別叫做復數z的實部與虛部。

正解：因為i·z+2i=-2+3i，所以z=故選D。

例 3（人教A版課本選修1-2習題改編）若復數z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i是純虛數，i是虛數單位，則實數m=（ ）。

A.2或3 B.3

C.2 D.0

錯解：因為復數z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i是純虛數，所以m2-5m+6=0，解得m=2或m=3。故選A。

剖析：本題錯誤的原因主要是對于純虛數的概念不清楚。復數z=a+bi（a，b∈R）為純虛數的充要條件是二者缺一不可。

正解：結合題意可得解得m=2。故選C。

例 4（2020年陜西高三二模理）設復數z滿足|z-1+i|=1，z在復平面內對應的點為P（x，y），則點P的軌跡方程為（ ）。

A.（x+1）2+y2=1

B.（x-1）2+y2=1

C.x2+（y-1）2=1

D.（x-1）2+（y+1）2=1

錯解：選A。

剖析：本題考查復數模長的公式，可以設z=x+yi（x，y∈R），再轉化為復數模的公式進行解題。當然也可以看成兩個復數差的模的幾何意義，即|z1-z2|的幾何意義是復數z1和z2對應兩點間的距離。所以本題可以把原式改成兩個復數差的模，再根據幾何意義進行解題。

正解1：設z=x+yi（x，y∈R），因為|z-1+i|=|（x+yi）-1+i|=|（x-1）+（y+1）i|=1，根據復數模的公式解得（x-1）2+（y+1）2=1。故選D。

正解2：設z=x+yi（x，y∈R），因為|z-1+i|=|z-（1-i）|=1，所以復數z對應點（x，y）與點（1，-1）之間的距離為1，其軌跡是以（1，-1）為圓心，1為半徑的圓，即（x-1）2+（y+1）2=1。故選D。

總結：在高考中復數作為一個必考的知識點，考查的要求并不高，也比較容易，一般考查都以基礎題、送分題為主。在復習過程中往往一帶而過，如果思想上不重視，這對于一些基礎知識掌握不牢的同學來說往往會出現不必要的錯誤。所以在解決復數概念相關問題時應重視方法：（1）解題時先把一個復數化簡為z=a+bi（a，b∈R）的形式，確定實部與虛部；（2）復數的分類及對應點的位置都可以轉化為實部與虛部滿足的方程（不等式）組。

二、忽視運算法則而導致錯誤

例 5（2020年宜賓高三第二次診斷）設i是虛數單位，則（2+3i）（3-2i）=（ ）。

A.12+5i B.6-6i

C.5i D.13

錯解：（2+3i）（3-2i）=6-4i+9i-6i2=5i。故選C。

剖析：本題產生錯誤的主要原因是把i2算成了1，導致最后結果的錯誤。在復數中，我們規定i2=-1。

正解：（2+3i）（3-2i）=6-4i+9i-6i2=12+5i。故選A。

例 6已 知z= （1+i）（2-i），則|z|2=（ ）。

A.8+6i B.3-2i C.5 D.10

錯解：因為z=（1+i）（2-i）=3+i，所以|z|2=z2=（3+i）2=8+6i。故選 A。

剖析：本題錯誤的原因是復數的模與向量的模（或與實數的絕對值）相混淆，導致運算出問題。復數z=a+bi（a，b∈R）的模為不一定成立，當復數z為實數時等式成立；當復數z為虛數時等式不成立。

正解：因為z=（1+i）（2-i）=3+i，所以|z|2=32+（-1）2=10。故選D。

總結：復數的四則運算也是高考考查的重點，在運算過程中要細心，注意解題方法，一般有兩種處理方法：（1）如果是分式形式，我們可以通過分子分母同乘以分母的共軛復數進行分母實數化，化簡為z=a+bi（a，b∈R）的形式；（2）可以設z=a+bi（a，b∈R），利用復數相等的條件進行處理。

三、忽略虛根成對出現的前提條件而導致錯誤

例 7（人教A版課本選修1-2習題改編）已知2i-3是關于x的方程2x2+px-i=0的一個根，求另一個根及p的值。

錯解：因為2i-3是方程2x2+px-i=0的一個根，所以另一個根為-2i-3，由韋達定理可得p=12。

剖析：若虛數a+bi（a，b∈R）是實系數一元二次方程的一個根，那么它的共軛虛數a-bi（a，b∈R）也是這個方程的根。注意這個結論中的前提是實系數一元二次方程，但本題中并不知道p的虛實，所以不能使用這個結論，但韋達定理仍然適用。所以本題的解答應該將一個根代入，整理化簡，求出p，再利用韋達定理求出另外一個根。

正解：因為2i-3是方程2x2+px-i=0的一個根，所以將其代入原方程，則2（2i-3）2+p（2i-3）-i=0，化簡整理得p=設x0是方程的實數根，由韋達定理可得。

總結：虛根成對出現的前提條件必須是實系數一元二次方程，在復數范圍內就不一定適用了，這也是同學們理解上的一個難點，需要后期多多訓練，理解方法，方能解決這個問題。

綜上所述，在復數的解題過程中出現錯誤的原因是多樣的，有的是同學們基礎知識不扎實，有的是運算能力不過關，有的是受思維定式影響，有的是解題方法的選擇不當等，這些因素的存在導致同學們在解題中面臨各種各樣的困難。因此，本文將一些常見錯誤進行歸納和剖析，使同學們能夠避免類似錯誤的發生，提高解題正確率，培養同學們的解題思維能力。