探尋處理計數應用問題的新視角

■江蘇省錫東高級中學 張 清

所謂計數應用問題就是利用分類、分步計數原理，結合排列、組合等相關知識解決“完成一項任務共有多少種方法”這類問題。計數應用問題是每年高考常考的重點、熱點內容之一。此類問題用到的背景知識本身并不難，難就難在處理此類問題的視角上。通過對今年全國各地的高考模擬題的研究，現歸納、總結、探尋出處理計數應用問題的一些新視角，供大家參考，希望能對高考備考提供幫助。

新視角1：注重本質——按需分類、按序分步

例 1（1）（2020年南京模擬）五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數為____；五名學生爭奪四項比賽的冠軍（冠軍不并列），則獲得冠軍的可能性有____種。

（2）我們把中間位數上的數字最大，而兩邊依次減小的多位數稱為“凸數”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以組成無重復數字的三位“凸數”的個數是____。

解析：（1）五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可對五名學生落實（即“人選項目”），每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法；五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實（即“項目選人”），每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性。

（2）根據“凸數”的特征，中間位數上的數字只能是3，4，5，故分三類：①當中間數字為“3”時，此時“凸數”有132，231，共有2個；②當中間數字為“4”時，則百位數字有2種選擇，個位數字有3種選擇，則“凸數”有2×3=6（個）；③當中間數字為“5”時，則百位數字有3種選擇，個位數字有4種選擇，則“凸數”有4×3=12（個）。根據分類加法計數原理，共有2+6+12=20（個）。

點評：按事件特點選擇分類標準，分類時要注意不重不漏；依據特定條件進行分步時，應分清是“元素選位置”還是“位置選元素”（如題（1））；若綜合運用兩個計數原理，一般是先分類，再分步（如題（2））。

新視角2：緊扣特殊——優先考慮特殊元素、特殊位置、特殊要求

例 2（1）從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成____個沒有重復數字的四位偶數。

（2）（2020年鹽城模擬）某校畢業典禮由6個節目組成，考慮整體效果，對節目演出順序有如下要求：節目甲必須排在前三位，且節目丙、丁必須排在一起，則該校畢業典禮節目演出順序的編排方法共有____種。

解析：（1）因為0不能在首位，所以0是特殊元素，首位是特殊位置。又因為要組成的數是偶數，則個位必須為偶數，所以個位為特殊位置。依據特殊元素優先考慮，可按取到0和未取到0兩種情況分類。①若取到0，先在2，4，6中選兩個數，然后將其中一個偶數放到個位上，再在1，3，5，7，9中選兩個數，最后將除去個位的數字的剩下3個數排到十位、百位、千位上，共（個）；②若未取到0，當0在個位時，則共有當0不在個位時，則共有根據分類計數原理，共有360+180+120=660（個）。

（2）依據題意按特殊要求“節目甲必須排在前三位”進行分類，對特殊要求“節目丙、丁必須排在一起”優先考慮。①甲排在第一位，則丙、丁相鄰的位置有4個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節目全排列安排在其他三個位置，有=6（種）安排方法，則此時有4×2×6=48（種）編排方法；②甲排在第二位，則丙、丁相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節目全排列安排在其他三個位置，有A33=6（種）安排方法，則此時有3×2×6=36（種）編排方法；③甲排在第三位，則丙、丁相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，將剩下的3個節目全排列安排在其他三個位置，有=6（種）安排方法，則此時有3×2×6=36（種）編排方法。根據分類計數原理，共有48+36+36=120（種）。

點評：對于有特殊元素、特殊位置、特殊要求，優先考慮是解決這類問題的切入點，也是尋求分類的依據（如題（2）以節目甲的位置作為分類標準）；若一個問題中有多個特殊對象及要求，則可通過不斷的嘗試權衡優先的順序，順序不同對解題難易也是有很大的影響（如題（1）首位和個位均為特殊位置，權衡之后應選擇先個位后首位）。

新視角3：抓住分配——先分堆再分配，先組合再排列

例 3（2020年山東四校模擬）安排5名學生去3個社區進行志愿服務，要求每人只去一個社區，每個社區至少有一名學生進行志愿服務，則不同的安排方式共有（ ）。

A.360種 B.300種

C.150種 D.125種

解析：第一步，現將5名學生分成3堆，有兩種分組方法，若分成3、1、1三堆，則有=10（種）分堆方法；若分成2、2、1三堆，則有=15（種）分堆方法；第二步，將分好的三堆分配到3個社區，共A33=6（種）方法。根據分步計數原理，共有（10+15）×6=150（種）。

點評：雖然此類綜合問題可通過詳細分類解決，但從“先分堆再分配”的視角更易切入，更加高效，具有一定的推廣價值；注意分堆無序，分配有序，平均分堆需倍縮（除序）。

新視角4：正難則反——直接法與間接法并舉

例 4（1）從2位女生、4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____種。

（2）（2020年濟南模擬）用0，1，…，9十個數字可以組成有重復數字的三位數的個數為____。

（3）5人排成一排，若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排法有____種。

解析：（1）直接法：分類：①只有1位女生入選，共有·=12（種）不同選法；②有2位女生入選，共有·=4（種）不同選法。根據分類計數原理，共有12+4=16（種）。

（2）直接考慮過于復雜，間接法：所有三位數有9×10×10=900（個），無重復數字的三位數有9×9×8=648（個），所以有重復數字的三位數有900-648=252（個）。

（3）直接法：依據特殊要求“甲與乙相鄰”，對捆綁后的甲乙（或乙甲）位置進行詳細分類。分別是：①甲乙×××；②×甲乙××；③××甲乙×；④×××甲乙；⑤乙甲×××；⑥×乙甲××；⑦××乙甲×；⑧×××乙甲。其中①和⑧均有=6（種）；②到⑦均有所以共有6×2+4×6=36（種）。

點評：受限計數應用問題處理策略主要有直接法和間接法。直接法主要是正面入手，通常以受限條件為依據實施分類討論；間接法主要從反面入手，當正面考慮比較煩瑣甚至是難以下手時，可先考慮不受限制的所有情況，再剔除不合要求的情況（如題（2）、（3））。

解決計數應用問題就是要選取合適的思考角度厘清題意，從而解決問題。而本文介紹的四種新視角就是想幫助大家找到合適的分類和合理的分步，借助所學知識切實有效地解決問題。行文至此，僅以一句話共勉：學習就是一個不斷總結，不斷提升的過程，知識常學常新，多思考、多歸類、多總結永遠是學習的制勝法寶。