二項式定理易錯題歸類剖析

■河南省許昌高級中學 郭曼曼

二項式定理揭示了二項式展開式的項、項數、系數、指數等內容之間的聯系和基本規律。通過對近幾年全國各地高考試卷的分析可以看出，二項式定理是歷年高考的必考內容，高考試題多以選擇題或填空題的形式呈現，試題難度不大，多為容易題或中檔題。考查的題型也比較穩定，主要考查兩點：（1）考查二項式展開式的通項公式，以求二項式展開式中的特定項或特定項的系數為載體，特別關注兩個多項式乘積展開式指定冪的系數，以及三項式展示式指定冪的系數。（2）考查二項式的系數的性質，特別關注賦值法處理系數和及二項式系數和。不少同學由于對知識的理解不夠或思維不嚴密，在解題中易產生各種各樣的錯誤，本文就幾種常見錯誤作了介紹，以幫助同學們歸類總結，避免類似的錯誤產生。

易錯點一：對二項式（a+b）n的展開式的通項公式理解不透徹而致錯

例 1二項式（x+2）6的展開式的第二項是（ ）。

A.60x4B.12x5

C.12xD.60x2

錯解：因為所以選A。

錯因分析：利用二項式展開式的通項公式求展開式的時候要注意展開式的通項公式指的是第r+1項，錯解中將r直接用2代入而引起錯誤。

正解：二項式（x+2）6的展開式的通項為，令r=1，則T2=12x5。故選C。

易錯點二：混淆二項式系數最大項與展開式系數最大項而致錯

例2在的展開式中，若二項式系數最大的項僅有第6項，則展開式中的常數項是（ ）。

A.180 B.120 C.90 D.45

錯解：由解得n=7或n=8，而展開式的通項為，得r無解。

錯因分析：二項式系數最大項是指（0≤r≤n），當n是偶數時，中間項的二項式系數最大；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大。而系數最大的項的位置不一定在中間，需要利用通項公式，根據系數值的增減性，通過解不等式組來確定。

正解：因為的展開式中僅有第6項的二項式系數最大，即最大，故n=10。所以的展開式的通項公式為令10-5r=0，解得r=2，則展開式中的常數項為。

易錯點三：在求特定項時由于遺漏而致錯

例3已知的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項。

分析：求展開式中的特定項，可依據條件寫出展開式的通項公式，再由特定項的特點求出r的值。由于求解展開式的有理項，則要求x的指數為整數，可得為整數，從而求出r=0，4，8，代入通項公式求解即可。

解：因為的展開式的前三項的系數分別是所以2×解得n=8或n=1（舍），所以的展開式的通項為Tr+1Z時，Tr+1為有理項。因為0≤r≤8且r∈Z，所以r=0，4，8。故有理項有3項，分別是。

易錯點四：對三項展開式特定項的系數問題不會處理而致錯

例 4已知二項式則其展開式中的常數項為____。

分析：破解（a+b+c）n展開式的特定項的系數問題，可以先看三項能否用完全平方公式，如果可以則問題較容易解決。若三項不能用完全平方公式，則要根據題目特點，將“三項”看作“兩項”，即按照：第一步，把三項的和a+b+c看作a與（b+c）兩項的和；第二步，根據二項式定理求出[a+（b+c）]n（n∈N*）的展開式的通項；第三步，對特定項的次數進行分析，弄清特定項是由（b+c）r的展開式中的哪些項和an-r相乘得到的；第四步，把相乘后的項相加減即可得到特定項，但要避免重復或遺漏。

解：因故其通項公式為的通項公式為令2t-r=0，得的展開式的常數項為。

易錯點五：混淆二項式系數和與項的系數和而致錯

例 5在的展開式中，各項系數和與二項式系數和之比為64:1，則x3的系數為（ ）。

A.15 B.45 C.135 D.405

分析：令x=1即得（ax+b）n的展開式中各項系數之和為（a+b）n，二項式系數之和為。

解：由題意知得n=6，展開式的通項為得r=2，則x3的系數為135。故選C。

易錯點六：利用賦值法求解時出錯

例 6已知1）1+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，則a1+2a2+3a3+…+7a7=____。

分析：在涉及求展開式中所有項的系數和或者奇數項、偶數項的系數和問題時，通常可以根據題目的結構特征，選擇“賦值法”來加以解決。但由于本題要求a1+2a2+3a3+…+7a7的和，所以兩邊可以先分別求導，得到+1）2+…+7a7（x+1）6以后再賦值。

解：對a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7兩邊求導，得+3a3（x+1）2+…+7a7（x+1）6。令x=0，得。

二項式定理的試題雖然千變萬化，但是考查的重心一定落在二項式展開式的通項公式的正用與逆用上。因此，備考的過程中要緊扣定理，熟悉變化，從而確保試題的解答有較高的準確率。