2020 年高考“命題及關系、充分必要條件”經典問題聚焦

■江蘇省鎮江中學 蔣景景

2020年高考數學對“命題及關系、充分必要條件”的考查，主要以“空間位置關系的判斷、函數單調性、三角函數、不等式、向量、數列”等知識點為背景，考查命題的真假判斷，充分條件、必要條件的判斷，題目難度中等，以選擇題和填空題為主。

聚焦1——含簡單的邏輯聯結詞的命題的真假判斷

例 1（2020年高考全國Ⅱ卷文理16）現有下列四個命題：

p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內。

p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面。

p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行。

p4：若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則直線m⊥直線l。

則下述命題中所有真命題的序號是____。

①p1∧p4；②p1∧p2；③ ?p2∨p3；④?p3∨?p4。

解析：借助空間位置關系，先對每個命題判斷真假后再判斷復合命題的真假。對于命題p1，可設l1與l2相交，這兩條直線確定的平面為α；若l3與l1相交，則交點A在平面α內，同理l3與l2的交點B也在平面α內，所以AB?α，即l3?α，命題p1為真命題；對于命題p2，若三點共線，則過這三個點的平面有無數個，命題p2為假命題；對于命題p3，空間中兩條直線的關系有相交、平行或異面，命題p3為假命題；對于命題p4，若直線m⊥平面α，則m垂直于平面α內所有直線，因為直線l?平面α，所以直線m⊥直線l，命題p4為真命題。

綜上可知，p1∧p4為真命題，p1∧p2為假命題，?p2∨p3為真命題，?p3∨?p4為真命題。故答案為：①③④。

品味：判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例。當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假。本題考查了空間點、線、面位置關系的判斷，考查復合命題真假的判斷，考查數學運算、直觀想象、邏輯推理等學科素養。解題關鍵是正確理解空間點、線、面的位置關系，理解或命題、且命題、非命題的含義。

聚焦2——充分必要條件與函數性質的交匯

例 2（2020年高考上海卷16）命題p：若存在a∈R且a≠0，對任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立。已知命題q1：f（x）單調遞減，且f（x）＞0恒成立；命題q2：f（x）單調遞增，存在x0＜0使得f（x0）=0。則下列說法正確的是（ ）。

A.q1、q2都是p的充分條件

B.只有q1是p的充分條件

C.只有q2是p的充分條件

D.q1、q2都不是p的充分條件

解析1：q1：當a＞0，f（a）＞0，因為函數f（x）單調遞減，所以f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），即f（x+a）＜f（x）+f（a），所以存在a＞0，當滿足命題q1時，使命題p成立。

q2：當a=x0＜0時，f（a）=0，因為函數f（x）單調遞增，所以f（x+a）＜f（x）=f（x）+f（a），即f（x+a）＜f（x）+f（a），所以存在a＜0，當滿足命題q2時，命題p成立。

綜上可知，命題q1、q2都是命題p的充分條件。故選A。

解析2：本題要看清楚一個函數具有性質p的條件是，存在a∈R且a≠0，則對于q1，a＞0時，易得函數f（x）具有性質p。

對于q2，只需取a=x0，則x+a=x+x0＜x，f（a）=f（x0）=0，所以f（x+a）=f（x+x0）＜f（x）=f（x）+f（a），所以此時函數f（x）具有性質p。

品味：本題給出新定義函數的性質，再判斷另外兩個函數與新定義函數之間的關系，涉及全稱量詞和特稱量詞、充分條件與必要條件定義，以及邏輯推理，判斷充分條件與必要條件時應注意：首先弄清條件p和結論q分別是什么，然后直接依據定義、定理、性質嘗試p?q，q?p。還可利用原命題和逆否命題的等價性進行判斷。

聚焦3——充分必要條件與空間位置關系的交匯

例 3（2020年高考浙江卷6）已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（ ）。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：依題意m，n，l是空間不過同一點的三條直線，當m，n，l在同一平面時，可能m∥n∥l，故不能得出m，n，l兩兩相交。

當m，n，l兩兩相交時，設m∩n=A，m∩l=B，n∩l=C，根據公理2可知m，n確定一個平面α，而B∈m?α，C∈l?α，根據公理1可知，直線BC即l?α，所以m，n，l在同一平面。

綜上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的必要不充分條件。故選B。

品味：本題考查了空間點、線、面位置關系的判斷，考查充分條件、必要條件及充要條件的判斷，凸顯數學運算、直觀想象、邏輯推理等學科素養。解題的關鍵是正確理解空間點、線、面的位置關系，理解充分條件、必要條件及充要條件的定義。