高考數學計數問題面面觀

■安徽省宿州應用技術學校 張 剛

高考數學計數問題是每年高考的重點考查內容之一，題型多樣，方法多變，但無外乎涉及的就是“元素”和“位置”的關系問題，或是兩者綜合起來一起考慮，這是計數問題處理策略與方法的關鍵所在。只要我們掌握處理此類問題最基本、最常見的方法，就能夠以不變應萬變有效破解這類問題。

一、優先法

例 1（2020年湖南師大附中高三月考理14）安排A、B、C、D、E、F，共6名義工照顧甲、乙、丙3位老人，每2位義工照顧1位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工A不安排照顧老人甲，義工B不安排照顧老人乙，則安排方法共有____種。

解析：6名義工照顧3位老人，每2位義工照顧1位老人，所以共有其中，優先考慮義工A照顧老人甲的情況有優先考慮義工B照顧老人乙的情況有再考慮義工A照顧老人甲同時義工B照顧老人乙的重復情況有所以符合題意的安排方法共有90-30-30+12=42（種）。

評注：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用的基本方法，若以元素分析為主，需要安排特殊元素，再處理其他元素。若以位置分析為主，需要優先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件?！疤厥庠?，優先考慮”或“特殊位置，優先排列”。

二、捆綁法

例 2（2020年鄭州市高中畢業班第一次質量預測理9）第十一屆全國少數民族傳統運動會在河南鄭州舉行，某項目比賽期間需要安排3名志愿者完成5項工作，每人至少完成一項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有____種。

解析：分兩步進行分析：第一步，先整體考慮，將5項工作分成1、1、3三組，其中最后一組3份捆綁一起作為大元素計算有=10（種），若分成1、2、2三組，其中最后兩組每2份捆綁一起作為大元素計算有15（種），則將5項工作分成3組，共有10+15=25（種）。第二步，考慮大元素內部元素的排列問題，將分好的三組再進行全排列，對應3名志愿者，有=6（種）情況，則共有25×6=150（種）不同的分組方法。

評注：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個大元素進行排列，然后再考慮大元素內部元素間順序的解題策略就是捆綁法。運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內部的順序問題。

三、隔板法

例 3（2020年全國高考Ⅱ卷理14）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法有____種。

解析：由題意，可以考慮用4個隔板間的空隙代表3個小區，而用*表示學生人數。如|**|*|*|，表示第一、二、三個小區分別有2、1、1個學生。若把每個“*”與每個“|”都視為一個位置，由于左右兩端必須是“|”，故不同的分配方法相當于4+2=6（個）位置（兩端不在內）被2個“|”占領的一種“占位法”。而“每個小區至少安排1名同學”相當于在4個“*”空隙中選出2個空隙插入“|”的全排列問題，即36，所以不同的安排方法共有36種。

評注：n個同學分配到m個小區（m≤n），要求每個小區至少分配一名同學的安排方法等價于n個同學站成一排從空隙里插入m-1個隔板，再進行全排列的問題，即種方法。需要注意的是：①學生不用區分，但有編號；②每個小區至少分配一名同學，因此每次隔離時不能踩空，即兩個隔板不能同時插入一個空隙中。

四、窮舉法

例 4（2020年合肥市高三第二次教學質量預測理8）為了實施“科技下鄉，精準扶貧”戰略，某縣科技特派員帶著A、B、C三個農業扶貧項目進駐某村，對該村僅有的甲、乙、丙、丁四個貧困戶進行產業幫扶。經過前期實際調研得知，這四個貧困戶選擇A、B、C三個扶貧項目的意向如表1：

表1

若每個貧困戶只能從自己已登記的選擇意向項目中隨機選取一項，且每個項目至多有兩個貧困戶選擇，則不同的選法種數有（ ）。

A.24種 B.16種

C.10種 D.8種

解析：（1）當甲選A項目，乙也選A項目時，丁只能選C項目，丙可選B或C項目，此時選法有2種。（2）當甲選A項目，乙選B項目時，丁可能選A或C項目。當丁選A項目時，丙可能選B或C項目；當丁選C項目時，丙可選A或B或C項目，此時選法有2+3=5（種）。（3）當甲選B項目，乙選A項目時，丁可能選A或C項目。當丁選A項目時，丙可選B或C項目；當丁選C項目時，丙可選A或B或C項目，此時選法有2+3=5（種）。（4）當甲選B項目，乙也選B項目時，丁可能選A或C項目。當丁選A項目時，丙可選A或C項目，當丁選C項目時，丙可選A或C項目，此時選法有2+2=4（種）。所以不同的選法共有2+5+5+4=16（種）。

評注：所謂窮舉法就是將所有可能的情況進行分類討論依次逐一排出，然后再把所有可能的種類依次累加即可。這種方法思路清晰，但有時比較煩瑣，需要仔細認真。

五、排除法

例 5（2020年全國高考名校名師原創卷理10）天干地支，簡稱干支，源自中國遠古時代對天象的觀測，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十大天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支。十大天干和十二地支按順序依次相配（天干在前，地支在后，天干由甲起，地支由子起，第一個組成甲子，第十個組成癸酉，然后天干再從頭開始，第十一個組成甲戌，從第十三個起，地支再從頭開始，以次類推），組成六十個基本單位（簡稱干支），用來計時，稱為干支紀元法。在這六十干支中，從含“甲”或“子”的干支中任取3個，則“甲子”不被取到或“丙子”不被取到的取法種數為（ ）。

A.72 B.112

C.420 D.1520

解析：含有“甲”的干支有6個，含有“子”的干支有5個，含有“甲”或“子”的干支個數為6+5-1=10（個），其中“甲子”“丙子”各有1個，所以“甲子”不被取到或“丙子”不被取到的取法種數為。

評注：在計數時，必須注意無一重復，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，人們研究一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。本題若從正面考慮，需要分類討論，但是若從問題的反面考慮，即“甲子”或“丙子”都被取到的取法種數為=8（種），那么問題就是直接從含“甲”或“子”的干支中任取3個的問題，因此，只需要直接從總體中剔除這種情形即可。

總之，高考數學計數問題往往都是以實際問題為背景，考查分步、分類計數原理，同時運用排列組合數公式進行計算。而解決問題的關鍵是要明確分類還是分步，是考慮元素還是考慮位置，都要靈活處理。同學們平時多留心、總結，就可以綜合運用以上各種方法解決問題?！笆郎蠠o難事，只要肯登攀！”只要堅持一步一個腳印，成功很快就會到來。