概率統計易錯題歸類剖析

■安徽省霍邱縣第一中學 魏兆祥

■安徽省霍邱縣第一中學 余其權

概率統計部分的內容由于易混點多，重復或遺漏的情況不易察覺等，同學們感覺易做但易錯。下面我們將同學們容易出現的錯誤列舉出來，并加以辨別分析，以期對大家的學習能提供一些幫助。

一、忘記回歸直線過樣本中心點致誤

例 1某單位為了了解用電量（度）與當天平均氣溫（℃）之間的關系，隨機統計了某4天的當天平均氣溫與用電量（如表1）。由數據運用最小二乘法得到線性回歸方程?y=-2x+a，則a=____。

表1

錯解：將點（18，25）代入?y=-2x+a，得25=-2×18+a，解得a=61。

剖析：不理解回歸直線過樣本中心點，隨便代入數據導致結果錯誤。求出樣本的中心點，代入回歸方程，即可求解。

正解：因為，故樣本中心點為（10，40）。因為回歸直線經過樣本中心點，代入回歸方程得40=-2×10+a，解得a=60。

二、混淆“有序”與“無序”致誤

例 2甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題有6道，判斷題有4道，甲、乙兩人依次各抽取一題。求：

（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率。

（2）甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題的概率。

錯解：（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結果有個，又甲、乙兩人依次抽到一題的可能結果有個，所以甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為。

（2）設甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題為事件A，則甲、乙兩人都未抽到選擇題為事件，由對立事件的計算公式得P（A）=1-。

剖析：上述解法錯把甲、乙依次抽取一題理解為甲、乙同時抽取一題，前者與順序有關，是排列問題；而后者與順序無關，是組合問題，兩者的本質是不同的。

正解：基本事件總數應為=10×9=90（個）。

（2）設甲、乙兩人至少有1人抽到選擇題為事件A，則甲、乙兩人都未抽到選擇題為事件，由對立事件的計算公式得P（A）=1-。

三、混淆“獨立事件”與“互斥事件”致誤

例 3甲、乙、丙三名射手擊中目標的概率分別為0.7、0.8、0.85。若他們三人分別向目標發射一槍，試求三彈都脫靶的概率。

錯解：設甲發射一槍擊中目標為事件A，乙發射一槍擊中目標為事件B，丙發射一槍擊中目標為事件C，則甲、乙、丙三人分別向目標發射一槍擊中目標為事件ABC，從而甲、乙、丙三人分別向目標發射一槍擊中目標的概率為P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.7×0.8×0.85=0.476，所以三人分別向目標發射一槍三彈都脫靶的概率為1-P（ABC）=1-1.476=0.524。

剖析：上述錯誤在于將相互獨立事件同時發生的事件當成互斥事件來考慮，認為“三彈都未中”的對立事件是“三彈都中”，而事實上，這兩者不是對立事件。

正解：設甲、乙、丙發射一槍擊中目標分別為事件A、B、C，則甲、乙、丙脫靶的概率分別為所以三彈都脫靶的概率為0.3×0.2×0.15=0.09。

四、混淆“隨機事件”與“互斥事件”致誤

圖1

例 4如圖1，用a、b、c三類不同的元件連接成一個系統N。當元件a正常工作且元件b、c至少有一個正常工作時，系統N正常工作。已知元件a、b、c正常工作的概率依次為0.80、0.90、0.90。分別求系統N正常工作的概率P。

錯解：設元件a、b、c正常工作為事件A、B、C，則系統正常工作的概率為P=P[A·（B+C）]=P（A）·P（B+C）=P（A）·[P（B）+P（C）]=0.8×（0.9+0.9）=1.44。

剖析：對于兩個隨機事件A、B，有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B），特別地，當A、B互斥時，有P（A+B）=P（A）+P（B）。對于上述解法產生錯誤的原因主要是B、C不是互斥事件，所以公式P（B+C）=P（B）+P（C）不成立。

正解：系統正常工作的概率為P=P[A·（B+C）]=P（A）·P（B+C）=P（A）·[P（B）+P（C）-P（B）·P（C）]=0.8×（0.9+0.9-0.9×0.9）=0.792。

五、混淆“幾何概型”與“古典概型”致誤

例 5心理學家分析發現，視覺和空間能力與訓練時間有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，進行了對比試驗，經過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間為5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間為6～8分鐘，現甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率。

錯解：設事件A為“乙比甲先做完此道題”，由題意知，甲完成該題所用的時間可以是5，6，7分鐘，共3種情況，乙可以是6，7，8分鐘，共3種情況，所以共有3×3=9（個）基本時間。其中甲用7分鐘，乙用6分鐘時，事件A發生，所以。

剖析：誤認為時間是有離散度的，將其看成了一個古典概型。實際上時間是一個連續性隨機變量，在求解時應建立幾何概率模型。

正解：（1）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區域為如圖2所示。

設事件A為“乙比甲先做完此道題”，則滿足的區域為x＞y。

圖2

六、混淆“超幾何分布”與“二項分布”致誤

圖3

例 6為了解今年某校高三畢業班報考飛行員學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖，如圖3所示，已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1:2:3，其中第二組的頻數為12。

（1）求該校報考飛行員的總人數；

（2）以這所學校的樣本數據來估計全省的總體數據，若從全省報考飛行員的同學（人數很多）中任選三人，設X表示體重超過60公斤的學生人數，求X的分布列和數學期望。

錯解：由題知，體重在60公斤以下的有6人，60公斤以上的有10人，隨機變量X服從超幾何分布，X所有可能的取值為0，1，2，3。

剖析：對隨機變量的含義不清楚，不能區分超幾何分布與二項分布；對于何時可以用樣本的頻率代替總體的概率不清楚。注意：（1）超幾何分布的本質是“不放回抽樣”，是一種古典概型，而二項分布的隨機實驗是“獨立重復實驗”，強調每次實驗的結果發生的概率相同，可認為是“有放回抽樣”。本題中，“若從全省報考飛行員的同學（人數很多）中任選三人”，特別強調人數很多，意味著實驗可以看作是“有放回抽樣”，所以是一個二項分布。（2）本題明確要求“以這所學校的樣本數據來估計全省的總體數據”，其意思是用頻率來代替概率，即16個人中每個人的體重超過60公斤的概率為，也是說，全省每個學生的體重超過60公斤的概率為。

正解：（1）設報考飛行員的人數為n，前三小組的頻率分別為p1，p2，p3，由條件可得解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375。又因為故n=48。

（2）由（1）可得，一個報考學生體重超過60公斤的概率為p=p3+（0.037+0.013）故X服從二項分布，則P（X=k）。

所以隨機變量X的分布列為表2：

表2