概率統(tǒng)計熱點題型探究

■江蘇省洪澤中學 劉義才

熱點一、如何應用頻率分布直方圖解題

落實頻率分布直方圖的性質(zhì)是解答這類問題的關鍵。頻率分布直方圖有如下性質(zhì)：

（1）圖中每個小長方形的面積表示相應各組的頻率，即小長方形的面積=組距×頻率。

（2）在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1。

（4）頻率分布直方圖中，各矩形的面積之比等于頻率之比，各矩形的高度之比也等于頻率之比。

圖1

例 1在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至30日。評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖1所示）。已知從左到右各長方形的高的比為2:3:4:6:4:1，第三組的頻數(shù)為12。請解答下列問題：

（1）本次活動共有多少件作品參加評比？

（2）哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？

（3）經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，這兩組哪組獲獎率較高？

解析：（1）依題意知第三組的頻率為。

（2）由頻率分布直方圖知第四組上交的作品數(shù)量最多。

點評：本題解答時可先由第三小組入手，利用各長方形高的比即面積比，得到各小組頻率的比，從而解決問題。

熱點二、古典概型與統(tǒng)計的綜合

有關古典概型與統(tǒng)計結合的題型，已成為高考考查的熱點，概率與統(tǒng)計結合題，無論是直接描述，還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決。

例 2某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1，2，3，4，5。現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表，如表1：

表1

（1）若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；

（2）在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2，現(xiàn)從x1，x2，x3，y1，y2這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率。

解析：（1）抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以等級系數(shù)為5的恰有2件，所以由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，所以a=0.35-b-c=0.1。

（2）從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，所有可能情況為{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，共10個基本事件。設事件A表示“從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包含{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4個基本事件。故所求的概率。

點評：該題考查概率與統(tǒng)計的知識，數(shù)學應用意識，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、必然與或然思想。

熱點三、條件概率

如果事件A發(fā)生與否，會影響到事件B的發(fā)生，顯然知道了事件A的發(fā)生，研究事件B時，基本事件空間發(fā)生變化，從而事件B發(fā)生的概率也相應地發(fā)生變化，這就是條件概率要研究的問題。求條件概率時一般應用公式求解，其推導如下：

在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生，等價于事件A和事件B同時發(fā)生，即AB發(fā)生。對于古典概型，由于組成事件A的各個基本事件發(fā)生的概率相等，因此其條件概率為。

例 3設10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中任意取出2件，那么在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解法一：設事件A為“在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件不合格品”，事件B為“另一件產(chǎn)品也是不合格品”，則。

解法二：直接利用公式進行計算。在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件不合格品的取法有（種），兩件產(chǎn)品均為不合格品的取法有m=（種），所以。

點評：由題設條件可獲取以下主要信息：①已知產(chǎn)品的數(shù)量及不合格品的件數(shù)。②任取2件產(chǎn)品中有一件為不合格品。解答本題可先設出兩個事件分別為A，B，再求概率P（B|A）。

熱點四、利用二項分布求概率

解此類題首先判斷隨機變量是否服從二項分布。一般地，如果n個相互獨立的試驗具備相同的條件，在這相同的條件下只有兩個結果且P（A）相同，那么即可建立二項分布的概率模型。其次，計算P（X=最后，根據(jù)每次試驗都是相互獨立的，求出P（X≥k）的概率。

例 4有10臺都為7.5kW的機床，如果每臺機床的使用情況是相互獨立的，且每臺機床平均每小時開動12min，問：全部機床用電超過48kW的可能性有多大？（結果保留兩位有效數(shù)字）

解析：由于每臺機床正常工作的概率為=0.2，而且每臺機床有“工作”與“不工作”兩種情況，故某一時刻正常工作的機床臺數(shù)服從二項分布。設X為某一時刻正常工作的機床的臺數(shù)，則0.2k·0.810-k（k=0，1，2，…，10），根據(jù)題意，48kW可供6臺機床同時工作，用電超過48kW，即意味著有7臺或7臺以上的機床在工作，這一事件的概率為P（X≥7）=P（X=7）+P（X=8）+P（X=9）+P（X=10）=。

點評：解答本題的關鍵是明確某一時刻正常工作的機床臺數(shù)X服從二項分布，即X～B（10，0.2）。