概率統計命題新動向

■四川省綿陽實驗高級中學 余 強

高考對概率與統計內容的考查，往往以實際應用題的形式出現，這既是這類問題的特點，也符合高考發展的方向。近兩年高考命題已從“知識立意”“能力立意”向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”發生轉變，側重考查考生的數學核心素養及能力。隨著經濟的發展和科技不斷創新，特別是當下人工智能化、數據的分析與處理等，都與概率統計息息相關。概率為人工智能提供隨機性，為預測提供基礎；而統計則對數據進行處理與分析，讓結果更好地滿足我們的要求，更具有普適性和一般性，以便于我們的應用。概率統計大題往往以生活實際問題為背景，例如，產品的檢驗檢測問題，經濟效益的決策問題等，對考生的閱讀理解、推理分析、數據運算等能力要求較高。命題者的命題意圖往往是希望同學們可以從解題過程中認識到統計與概率的知識在生產與生活中所起的作用。

動向一、解答題難度動態變化

以概率與統計為背景的解答題越來越重要，已成為新高考命題的熱點，甚至可能成為高考的壓軸題。近幾年高考全國Ⅰ卷理科數學概率統計解答題具有以能力為立意、綜合性強的特點，2018年高考全國Ⅰ卷理科數學把概率統計大題放到了第20題的位置，2019年高考全國Ⅰ卷理科數學把概率統計大題放到了第21題的位置，可見命題人對概率統計考查要求的提高。2020年高考全國Ⅰ卷理科數學把概率統計大題放到了第19題的位置，難度相對降低，回歸考查基礎知識。

例 1（2020年高考全國Ⅰ卷理）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束。經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空。設每場比賽雙方獲勝的概率都為。

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率。

解析：（1）記事件M為甲連勝四場，則。

（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內結束比賽的概率為P′=P（ABAB）+P（ACAC）+P（BCBC）+所以需要進行第五場比賽的概率為。

（3）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸；記事件M為甲贏，事件N為丙贏，則甲贏的基本事件包括BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，所以甲贏的概率為。

由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為P（N）=1-2×。

評注：獨立事件的概率在近幾年全國高考中出現頻率較高，2019年全國Ⅱ卷的第19題也進行了考查，值得關注。本題考查獨立事件概率的計算，解答的關鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查同學們的數學閱讀能力和計算能力。

動向二、加大對數學建模的考查

通過建立數學模型，解決實際問題是高考要求的重要內容。特別是伴隨著大數據時代的到來，人們常常需要對網絡文本、聲音、圖像等大量信息進行數字化處理，使數學模型的研究領域與應用領域得到極大拓展，特別是隨著統計與概率知識在中學數學中內容的增加，為同學們的數學建模提供了知識儲備和解題工具。在對其考查時可以從模型建立、檢驗模型等方面設置問題。在對數學建?？疾闀r，更為注重根據題干中的精確數據構建數學模型，強調用數學知識、思想方法解決數學問題的能力，淡化對數據的分析和處理。因此，回歸直線模型的應用在全國卷中一直占據重要地位。

例 2（2020年高考全國Ⅰ卷理）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據（xi，yi）（i=1，2，…，20）得到圖1所示的散點圖：

圖1

由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析：由散點圖可知，在10℃至40℃之間，發芽率y和溫度x所對應的點（x，y）在一段對數函數的曲線附近，結合選項可知，y=a+blnx可作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型。

評注：這是2020年全國Ⅰ卷的第5題，雖然難度不大，但是這是回歸分析數學模型首次出現在全國高考卷的選擇題中。對于非線性回歸問題來說，雖然課本上有具體的例題，但考查的較少，所以在學習中很多同學并不是很重視。本題考查回歸方程，考查同學們的讀圖視圖能力和數學建模能力，是源于課本的試題類型，因此要引起關注。

動向三、關注抽樣與數字特征

數量關系的提煉是在同學們對試題表征分析后，對問題進行分析、加工提煉的過程。在這一過程中我們選取的理論依據直接決定了問題解決的順利與否。因此，在對提煉數量關系進行考查時，要挖掘題目內涵，選取適當的方法策略、思維路徑等。統計圖表與數字特征在考查中一般同時出現在一道試題中，這是因為兩個知識相輔相成，很難分開，考查的常見形式是根據給出的莖葉圖、頻率分布表、頻率分布直方圖、列聯表等統計圖表，計算數字的數據特征——平均數、中位數、方差或標準差等。這是高考命題的熱點。

例 3（2020年高考全國Ⅱ卷理）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到表1（單位：天）：

表1

（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率。

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）。

（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”。根據所給數據，完成表2所示的2×2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關。

表2

表3

解析：（1）由頻數分布表可知，該市一天的空氣質量等級為1的概率為0.43；等級為2的概率為等級為3的概率為等級為4的概率為。

（2）由頻數分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數為。

（3）2×2列聯表如表4所示：

表4

因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關。

評注：本題考查利用頻數分布表計算頻率和平均數，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數據處理能力。2020年新高考海南卷和山東卷出現了類似的考題，反映出全國高考卷對統計案例的青睞，需要同學們引起重視。

高考全國卷對概率的考查不只停留在對概率計算的層面，我們的出發點和歸宿都是解決問題，能夠利用概率的計算結果，為我們的決策提供關鍵性的依據。高考全國卷對概率的考查重點一般放在以下幾個方面：

（1）能根據要解決的問題寫出樣本空間和基本事件或者隨機變量。

（2）能根據實際問題正確地建立概率模型。要求理解古典概型和幾何概型各自的特點，能在實際問題中加以應用，重點考查對兩種概率模型的理解和應用，而不是公式的簡單套用。

（3）分析事件的結構或者隨機變量的分布，進行計算或推證。重點考查互斥事件的概率、事件的獨立性、離散型隨機變量等內容。

（4）將數學解答翻譯成現實對象，給出實際問題的解答。

高考全國卷對統計的考查不僅是計算統計量的大小，更重要的是要會用計算得出的樣本的數字特征去對總體進行估計，能通過對數據的分析為合理決策提供一些依據，考查樣本估計總體的統計思想。高考全國卷對統計的考查重點一般放在以下幾個方面：

（1）能夠根據要解決的問題選取適合的抽樣方法，體會隨機性。能夠明確簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣各自的特點，并能根據實際情況選擇恰當的抽樣方法。

（2）能夠把抽取的數據用合適的圖表進行表示。能夠根據頻率分布表、直方圖、折線圖和莖葉圖等各自的特點，在具體問題中有針對性地選擇不同的統計圖表整理信息。

（3）能夠理解樣本數據的平均數、標準差和方差等統計量的意義和作用，能夠根據具體的統計問題，選擇恰當的統計量。

（4）能夠對統計量的大小進行正確計算。會利用數據處理線性相關與非線性相關的擬合問題，以及獨立性檢驗。

高考是選拔性考試，試題中一定會體現一些創新性的東西，那么研究高考題發現其內在的規律性就是復習備考的至尊法寶。在高考試卷中對實踐應用能力的考查設置具有挑戰性的問題情境，這樣將有利于激發同學們進行思考。同時在設問時提出有一定跨度的問題引導同學們進行自主探索，動手實驗，使同學們在探索的過程中進一步理解所學的數學知識，掌握解決實際問題的方法，增強解決問題的能力。因此，同學們必須養成多練高考題的好習慣，真正領會高考命題的意圖及蘊含的真諦。