洞察高考導數題命題策略命制高考模擬題

華南師范大學數學科學學院(510631) 陳俊陽

一、引言

試題是數學教學中必不可少的材料，也是訓練、檢測學生的重要素材之一.但當今部分教師對考試大綱、課程標準、教材和高考的認識和理解較多受經驗主義影響，對其缺乏系統性和整體性的認識.此外，由于一線教師日常教學任務繁重，從各類教輔資料或模擬卷中選取習題和考題的現象早已成教學常態.而把握高考命題趨勢，挖掘試題背后的數學原理和命題策略，有助于教師命制高質量的模擬題，發展學生的關鍵能力與核心素養.

不少學者分析了近幾年高考中“函數與導數”試題的命題特點和命題視角，比如，文獻[1-3]，但少有學者剖析如何構造函數并結合高考趨勢命制導數題.下文將討論這一問題.

二、構造函數

在高考導數題中，常常出現導函數可因式分解的情形，在討論單調性時不需過多地利用復雜的變形技巧，只需對每個因式進行討論即可，這有利于考查學生對基本思想方法的掌握，同時也讓導函數具有“美感”.那么如何才能構造出這樣的函數呢?

(一)理論基礎

定理如果函數f(x),g(x)具有相同的駐點(導數值為零的點，包含極值點)x=x0，那么由它們線性運算生成的函數F(x)=af(x)+bg(x)也有駐點x=x0.

證 明已知f′(x0)=g′(x0)=0，于是F′(x)=af′(x) +bg′(x)，從而F′(x0)=0，進 而x=x0是函數F(x)=af(x)+bg(x)的駐點.

推論如果函數f1(x),f2(x),··· ,fn(x) 具有相同的駐點x=x0，那么由它們線性運算生成的函數F(x)=a1f1(x)+a2f2(x)+···+anfn(x)也有駐點x=x0.

由此可知，若要構造出導函數具有“美感”的函數，可以對兩個(或以上)具有相同駐點的函數……