利用導數求解一類含參數取值范圍問題的常用方法

廣東省廣州市第七中學 陸曼麗

利用導數求解參數取值范圍問題是一類常見的探索性問題，是導數應用的一個重點，若能掌握此類問題的解法，對培養學生的邏輯思維能力、數學抽象能力，數學運算能力和知識整合能力有很大的幫助.

一、梳理方法，加深理解

利用導數求解參數取值范圍常見的方法有: 分離參數法、含參討論法、分離函數法.這三種方法各有特點.

分離參數法: 若參數的系數符號確定(無需討論符號的正負便可以把參數分離出來)，而且構造的函數相對容易求出導函數，并能確定導函數的正負，可選擇分離參數法.

含參討論法: 若含有參數的函數表達式是一些簡單且常見的基本初等函數的四則混合運算的形式，可考慮用含參討論法，但要注意對參數進行分類討論，不重不漏.

分離函數法: 一般適用于能分離出含參數和不含參數的兩類初等函數，再對含參數和不含參數的兩個函數進行分析，本文主要分析一類能分離出含參數的一次函數的題型.

二、甄別細微，領會異同

例1函數f(x)=xlnx+ax2(a為常數)有兩個極值點x1，x2，求實數a的取值范圍.

解法1(分離參數法) 因為f′(x)=lnx+1+2ax(x ＞0)，而函數f(x)=xlnx+ax2(a為常數) 有兩個極值點x1，x2等價于f′(x)=0 有兩個不相等的變號的實數根x1，x2，由f′(x)=0，即-2a=(x ＞0)，設(x ＞0)，則g′(x)=令g′(x)=0，得x=1;所以，當0＜x ＜1 時，g′(x)＞0，g(x)在區間(0,1)內單調遞增; 當x ＞1 時，g′(x)＜0，g(x) 在區間(1,+∞)內單調遞減.g(x) ≤g(1)=1，且x →0+時，g(x)→-∞;x →+∞時，g(x)→0+.從而，由g(x)=f′(x)=0 有兩個不相等的變號的實數根x1，x2，得0＜-2a ＜1，即

方法點睛函數有極值點是其導函數所對應的方程有實數根的充分不必要條……