一道兩點橫坐標乘積為定值聯考題的探究*

北京市第十二中學高中部(100071) 劉 剛

解析幾何中的定值問題是近些年各類考試的新寵，反映了運動變化過程中的不變性.由特殊到一般探究定值問題的源與流，是我們深刻認識這類問題的必修課.下面以一道聯考定值問題為例，談一談蘊含其中的源與流，供大家參考.

1 問題提出

題目(湖北省部分重點中學2020 屆高三第一次聯考)已知橢圓ω:=1(a ＞b ＞0)的離心率為，其右頂點為A，下頂點為B，定點C(0,2)，ΔABC的面積為過點C作與y軸不重合的直線l交橢圓ω于P，Q兩點，直線BP，BQ分別與x軸交于M，N兩點.

(1)求橢圓ω的方程;

(2)試探究M，N的橫坐標的乘積是否為定值，并說明理由.

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線與橢圓的位置關系以及定值問題，考查了直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養，檢驗了學生分析問題與解決問題的能力.試題構思巧妙、內涵豐富，符合新課標理念.

2 問題解答

解(1)略，橢圓ω的方程為

(2) 設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直線PQ的方程為y=kx+2，則直線BP的方程為y=，令y=0，得點M的橫坐標xM=又直線BQ的方程為令y=0，得點N的橫坐標xN=所以

聯立y=kx+2 與+y2=1，得(2k2+1)x2+8kx+6=0，所以x1+x2=-，x1x2=，于是故M，N的橫坐標的乘積是定值

點評由于直線l的運動引起了點M，N的變化，因此解法以直線l的斜率k為研究對象，并借助點P，Q的坐標表示出xMxN，然后根據韋達定理建立了xMxN關于k的關系式，最后通過數學運算得出答案，體現了坐標法的應用.

3 問題探源

問題中的xMxN為什么是定值? 我們可以根據仿射變換把橢圓變為圓進行解釋: 橢圓經過仿射變換φ:后得到圓O′:x′2+y′2=1，則由此可知圓中的M′，N′的橫坐標之……