拋物線參數方程的應用

廣東省茂名市信宜中學(525300) 何浩成

一、拋物線參數方程的定義

高中數學選修4-4 人教版新課標A 版33 頁提到:

“拋物線的普通方程為y2=2px(p ＞0)，其中p表示焦點到準線的距離，則其參數方程為:(t為參數).參數t表示拋物線上除去頂點外任一點與原點連線的斜率的倒數.

同理，拋物線的普通方程為x2=2py(p ＞0)的參數方程為:(t為參數).”

二、拋物線參數方程的應用

1 在求曲線軌跡方程方面的應用

例1已知直線l與拋物線y2=4x交于A,B兩點，O是坐標原點，

(1)求線段AB中點的軌跡M的方程.

解法一當直線AB斜率存在時，設AB方程為:y=kx+b(k /=0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，聯立方程得:k2x2+(2kb -4)x+b2=0，由Δ=16-16kb ＞0? kb ＜1，結合韋達定理得:因為所以x1x2+y1y2=-4，即x1x2+k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=-4，得(b+2k)2=0，即b=-2k.

設AB中點M坐標為(x,y)，則消去k和b得:y2=2x-4.當直線AB斜率不存在時，求得AB中點坐標M為(2,0)，也滿足y2=2x-4.所以AB中點M的軌跡方程為:y2=2x-4.

解法二根據拋物線參數方程設A、B兩點的坐標分別為:(4a2,4a),(4b2,4b)(a,b ∈R)，因 為所 以16(ab)2+16ab=-4，所以(2ab+1)2=0?ab=設AB中點M坐標為(x,y)，則消去a和b得:y2=2x-4.所以AB中點M的軌跡方程為:y2=2x-4.

這是2020 屆全國沖刺聯考文科卷21 題第(1)問，改編教材4-4 第35 頁課后練習第5 題.本題我校文科1300 多個考生的平均分才2.34，不少學生想用解法一求解，但由于設求字母多、計算量大導致無法完成，或者漏了說明直線AB斜率不存在的情況，得分不理想.對比解法一，解法二利用拋物線參數方程求解就顯得簡潔明了，也體現了拋物線參數方程在解題中有著重要的應用與地位.

2 在求解定點、定值方面的應用

例2設A，B為曲線C:x2=2py(p ＞0)上兩點，滿足OA ⊥OB，證明: 直線AB過定點.

證明根據拋物線參數方程設A、B兩點的坐標分別為:(2pa,2pa2)，(2pb,2pb2)(a,b /=0)，因為所以(ab)2+ab=0?ab=-1，故直線AB的方程為:y-2pa2=(a+b)(x-2pa)，即y=(a+b)x+2p，故直……